суббота, 14 мая 2011 г.

Сумма

Даны пятьдесят различных натуральных чисел, двадцать пять из которых не превосходят 50, а остальные больше 50, но не превосходят 100. При этом никакие два из них не различаются ровно на 50. Найдите сумму этих чисел.

update
Первым правильно ответил Yurko.
Ответ
Вычтем 50 из каждого числа, которое больше 50. По условию ни одна из разностей не равна ни одному из 25 чисел, которые не превосходят 50. Поэтому вместе с ними разности дают 50 различных натуральных чисел, которые не превосходят 50, то есть это все числа от 1 до 50. Их сумма равна 51*25, а сумма всех исходных чисел равна 51*25+50*25=2525.

8 комментариев:

  1. 2525
    Можно рассмотреть два ряда натуральных чисел: первый от 1 до 50 и второй от 51 до 100. Члены второго ряда ровно на 50 больше соответствующих членов первого. Сумма первого ряда равна 50*51/2=1275. Сумма второго - 1275+50*50=3775 или по формуле для арифметической прогрессии (51+100)*50/2=3775.
    Теперь можно "вычеркнуть" из первого ряда 25 любых чисел, а во втором оставить только те, которые соответствуют вычеркнутым.
    Дальше все просто. Пусть Х сумма вычеркнутых из первого ряда чисел. Тогда сумма оставшихся чисел в этом ряду будет 1275-Х, а сумма оставшихся чисел второго ряда Х+50*25. В итоге получаем 1275-Х+Х+50*25=2525.

    ОтветитьУдалить
  2. А можно просто посчитать сумму всего ряда от 1 до 50, а потом сказать что 25 произвольных чисел этого ряда - это числа из ряда от 50 до 100. Соответственно к результату надо добавить 50 (разница между рядами) * 25 (количество чисел).

    В итоге тоже получает 2525.

    ОтветитьУдалить
  3. У blogger проблемы, все последние комментарии исчезли.

    ОтветитьУдалить
  4. S=(2+4+...+48+50)+(51+53+...+97+99)=101*25=2525

    ОтветитьУдалить
  5. Но это только один из вариантов. А как решить задачу в общем виде?

    ОтветитьУдалить
  6. Давайте снова я попробую. Первоначально я определял сумму вручную, отбирая числа от 1 до 100, но уже после третьего варианта стало понятно, что результат 2525 можно получить именно из общих соображений.
    Итак. Каждое число от 1 до 50 имеет свою "пару" в ряду от 51 до 100, которое отличается от него ровно на 50. Например, 1 и 51=1+50, 2 и 52=2+50 и т. д. По условиям задачи необходимо оставить 25 чисел в первом ряду (от 1 до 50) и 25 во втором (от 51 до 100). Причем, так как числа не могут отличаться ровно на 50, то из каждой "пары" необходимо оставить только одно число. То есть из первого ряда можно убрать любые 25 чисел, тогда во втором необходимо будет оставить те, которые соответствуют ("парные") убранным.
    Сумма первого ряда равна 50*51/2=1275. Пусть Х сумма тех 25 произвольных чисел, которые были из него убраны. Тогда, сумма оставшихся чисел в первом ряду будет 1275-Х, а во втором Х+50*25. В итоге общая сумма равна 1275-Х+Х+50*25=2525.

    ОтветитьУдалить