пятница, 29 апреля 2011 г.

Не менее 4 окружностей

Дан квадрат со стороной 1, в котором нарисовано несколько окружностей. Сумма длин всех окружностей равна 10. Получится ли при таких условиях провести одну прямую, которая будет пересекать не менее четырех из этих окружностей?
Квадрат

15 комментариев:

  1. Длина окружности равна пи*диаметр. Тогда сумма диаметров окружностей будет 10/пи=3,2. Возьмем 16 окружностей с диаметром 0,25. Ясно, что их можно вписать в этот квадрат (и еще место останется =).
    их суммарный диаметр равен 4>3,2. тогда мы можем провести линию, которая пересечет 4 окружности.

    Уменьшая диаметр окружностей до 1/х и увеличивая их количество мы можем пересечь х окружностей проведя линию параллелино стороне квадрата, а их общей диаметр будет равен х.

    ОтветитьУдалить
  2. >>Уменьшая диаметр окружностей до 1/х и увеличивая их количество мы можем пересечь х окружностей проведя линию параллелино стороне квадрата, а их общей диаметр будет равен х.<<

    В этой фразе лично я вообще ничего не понял.

    ОтветитьУдалить
  3. Сам смысл понял? Это главное. А насчет последней фразы обьясняю. Длина всех окружностей, лежащах на линии, параллельной стороне квадрата равна пи, а общий диаметр равен 1, т.е. мы на эту линию можем вместить х окружностей с диаметром 1/х. Чем больше х, тем больше таких окружностей мы можем вписать в квадрат, разделив квадрат на х*х маленьких квадратиков. Тогда суммарный диаметр будет равен 1*х, а суммарная длина равана х*пи. Впрочем, для решения задачи это уже не так важно.
    Надеюсь понятно.

    ОтветитьУдалить
  4. Окружности расположены произвольным образом по всей площади квадрата, а не на одной линии. Поэтому решение не подходит.

    ОтветитьУдалить
  5. В условии написано, что нарисовано несколько окружностей. Сумма длин всех окружностей равна 10.
    Как они расположены не написано. Разве это не значит, что мы можем располагать эти окружности как хотим с выполнением этих двух условий? Нас спрашивают, возможно ли пересечь не менее 4-х окружностей. Поэтому я считаю свое решение правильным, т.к. оно соответствует условию.
    А оставшиеся окружности можно располагать по всей плоскости квадрата.

    ОтветитьУдалить
  6. Там спрашивается, возможно ли(!) это сделать. Я показал случай, в котором возможно.

    ОтветитьУдалить
  7. А не кажется, что если мы должны были располагать окружности по нашему усмотрению, то задача была бы просто бессмысленна?

    ОтветитьУдалить
  8. Мне кажется, что я сблюдаю все условия, коих 2. Я доказал, что длина всех окружностей не меньше 10 и показал пример, в котором одной линией пересекаются 4 окружности. Если мы не должны были располагать окружности по нашему усмотрению, то в задаче не хватает данных в условии. Уточняйте условие или мое решение считается правильным. Если располагать окружности не по своему усмотрению, то укажите, как их надо располагать.

    ОтветитьУдалить
  9. Я же уже уточнил, что располагаются произвольно. То есть мы не знаем как (в этом весь смысл). Также неизвестно одинаковый у них диаметр или нет. Но известно, что сумма их длин равна 10. Нужно показать, получится или нет при таких условиях провести прямую, пересекающую не менее 4 окружностей.

    ОтветитьУдалить
  10. Я это и говорю. Т.е. у нас спрашивают ВОЗМОЖНО ли провести прямую с такими условиями. Я привел пример, но я могу заполнить этот квадрат окружностями с любым радиусом. Фишка в том, что если суммарный диаметр 4-х окружностей равен 1, то мы можем их выложить на одну линию чтобы она пересекала их. Это не противоречит условию.

    ОтветитьУдалить
  11. Ладно, попробую последний раз. Нужно доказать (или опровергнуть это), что для любого расположения X окружностей, суммарный диаметр которых равен 10, всегда можно провести прямую, которая будет пересекать не менее 4 окружностей. Количество X означает, что не мы выбираем понравившееся нам число, а это число может быть любым. Лишь с тем ограничением, что окружности могли поместиться в пределы квадрата.

    ОтветитьУдалить
  12. Я тоже обьясняю. Там не написано, что нужно доказать (или опровергнуть это), что для любого расположения можно провести прямую, которая будет пересекать не менее 4 окружностей. Такого в условии нет. Там спрашивается, можно ЛИ(!). При желании можно найти случай, в котором окружности будут расположены таким образом, что 4 пересечь одной линией не удасться. Кстати, это можно сделать, если уменьшить радиус окружностей, не скажу точно на сколько, хотя это можно и вычислить. Хотя возможно что можно провести в любом случае, попробую в скором времени доказать.

    ОтветитьУдалить
  13. Как все просто. Суммарный диаметр всех окружностей будет примерно 3,2. Допустим, что одной линией нельзя пересечь 4 окружности. Положим по 3 окружности на линию, параллельную стороне и равную 1. Тогда линий будет 4. Но мы всегда можем пересечь эти 4 линии пятой, которая будет пересекать 4 окружности. Правильно?

    ОтветитьУдалить
  14. Абсолютно неправильно или незакончено?

    ОтветитьУдалить