среда, 1 августа 2012 г.

BE+DF=?

Геометрическая задача с несложным и красивым решением.
Буквой E отмечена произвольная точка на стороне BC квадрата ABCD. AF - биссектриса угла DAE. Известно, что AE=a. Чему равна сумма длин отрезков BE+DF?
Чему равна сумма BE+DF?
update
Первым правильно ответил Медалист.
Ответ
BE+DF=а.
Выполним дополнительные построения так, чтобы треугольник AEB был равен треугольнику AE'D. Видно, что угол FAB равен углу E'AF и равен углу AFE'. Следовательно, треугольник AE'F равнобедренный и AE'=E'F=AE=a. При этом E'D+DF=BE+DF=a.
Дополнительные построения

Ещё две геометрические головоломки:
Как будет выглядеть вид сверху?
Как убедиться, что угол равен 31 град?

5 комментариев:

  1. BE+DF=a. В предельных значениях E->B и E->C, сумма BE+DF равна соответственно a+0=a и a/sqrt(2)+a/sqrt(2)*tg(pi/8)=a/sqrt(2)+a/sqrt(2)*(sqrt(2)-1)=a. Очевидно что сумма не зависит от выборы точки E :)

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Верно, но такой способ больше подходит для проверки, чем для доказательства.

      Удалить
  2. b-r-a-z я еще хотел так, выбираем точку так, что угол dat = 60 градусов. Тогда там из факта, что sin30 = 0.5 все понятно становится. Но в школе и при поступлении вроде такие доказательства не принимали - надо как то через подобие выразить, чтобы все сократилось)) и вышло be+df=a

    ОтветитьУдалить
  3. https://lh6.googleusercontent.com/-QzbruAq0kLg/UBlslrpSsPI/AAAAAAAAAHQ/1u_yh1mmQg8/s640/%25D0%25A0%25D0%25B5%25D1%2588%25D0%25B5%25D0%25BD%25D0%25B8%25D0%25B5%2520be%252Bdf.png

    Так как AB=AD, то треугольник АВE можно повернуть так, что AB совпадёт с AD, а BE будет продолжением отрезка CD (E стала точкой E', DE'=BE => BE+DF=DE'+DF=E'F). Как видим, образовался треугольник AE'F, у которого 2 угла равны, следовательно он равнобедренный, а значит a=E'F=BE+DF

    ОтветитьУдалить