понедельник, 1 октября 2012 г.

Необычная дуэль

Необычная дуэль
Ещё одна необычная дуэль. В дуэли принимают участие три человека А, Б и В. Они условились провести поединок по следующим правилам. Вначале бросается жребий и определяется кому стрелять первым, кому - вторым и кому - третьим. Далее противники расходятся по местам и встают в вершинах равностороннего треугольника. Дуэлянты договорились, что каждый по очереди производит лишь один выстрел и может целиться в кого угодно. Дуэль продолжается до тех пор, пока не будут убиты любые два ее участника. Очередность стрельбы определяется только результатами жеребьевки и остается неизменной в течение всего поединка. Все участники знают, что лучше всех стреляет А и он никогда не промахивается. Б попадает в цель в 4 случаях из 5. Участник В стреляет хуже всех - он промахивается также часто, как и попадает в цель. Кто из дуэлянтов имеет более высокий шанс уцелеть, если считать, что все трое придерживаются оптимальных стратегий и никто из них не будет убит шальной пулей, предназначенной другому? Чему равна вероятность остаться в живых для каждого из дуэлянтов?

update
Первым правильно ответил svarog-777.
Ответ
A останется жив с вероятностью 3/10.
Б - 8/45.
В - 47/90.
Наибольшую вероятность выжить имеет худший из стрелков (В). Потом идет стрелок А, который никогда не промахивается. Поскольку противники В, когда настанет их очередь стрелять, целятся друг в друга, оптимальная стратегия для В заключается в том, чтобы стрелять в воздух до тех пор, пока один из его противников не будет убит. После этого он стреляет в оставшегося противника, имея перед ним большое преимущество.
А в дуэли с Б с вероятностью 1/2 стреляет первым. В этом случае он убивает Б. Б, который попадает в цель в 4 случаях из 5, стреляет первым с такой же вероятностью. В этом случае А останется в живых с вероятностью 1/5. Таким образом, А с вероятностью 1/2 + 1/2 * 1/5 = 3/5 переживает Б. Если А останется в живых, то в него стреляет В, который в 1/2 всех случаев промахивается. Но если В промахивается при первом выстреле, то А, дождавшись своей очереди стрелять, убивает его. Поэтому с вероятностью 1/2 А выходит из дуэли с В живым. Итак, вероятность остаться в живых после дуэли с обоими противниками для А равна 3/5 * 1/2 = 3/10.
Вероятность остаться в живых после дуэли с А для Б равна 2/5 = 1 - 3/5. Затем в Б стреляет В, который попадает в цель лишь в половине случаев. Если В промахивается, то Б с вероятностью 4/5 убивает его. Итак, на этом этапе дуэли Б с вероятностью 1/2 * 4/5 = 4/10 выходит победителем из поединка с В. Но с вероятностью 1/5 Б может промахнуться, после чего В имеет право выстрелить еще раз. С вероятностью 1/2 Б останется в живых, и тогда он в свою очередь сможет выстрелить в В и с вероятностью 4/5 убить его. Шансы Б остаться в живых во время второго тура поединка составляют 1/2 * 1/5 * 1/2 * 1/5 = 4/100. Рассуждая аналогичным образом, приходим к выводу, что шансы Б пережить В равны бесконечной дроби 0,4444... = 4/10 + 4/100 + ... , или 4/9. Вероятность того, что именно Б переживет обоих своих противников, равна 2/5 * 4/9 = 8/45.
Шансы В вычисляются легко 1 - 3/10 - 8/45 = 47/90.

5 комментариев:

  1. если считать, что каждый будет стрелять в более крутого чувака из оставшихся, то у в больше всего шансов

    в случаях

    абв у б нет шансов у а и в по 0.5 в - будет стрелять вторым победит с веротностью 0.5
    авб - аналогично у а и в по 0.5
    бав - у а шансов 0.25 у в шансов опять 0.5 потому что если б промахнеться а убъет б. у б получается меньше 0.5 здесь шансов
    бва - у а шансов 0.25 у в больше чем у б
    ваб - тут у в вобще шансов 0.75 так как он будет два раза стрелять в а, если в первый раз не промахнеться
    вба - аналогично предыдущему

    топорные рассуждения суть которых сводиться, что для того чтобы выжить а и б будут охотиться друг за другом

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. "вба - аналогично предыдущему": не совсем. Известно что в таком случае В должен стрелять в воздух.

      Удалить
  2. что то типа

    a - вероятность 0,3
    b - вероятность 0,2
    в - вероятность 0,5

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Для Б и В цифры немного неточные, но в целом верно.

      Удалить
  3. В задаче указано, что все действуют по самому выгодному алгоритму. А и Б не выгодно стрелять в друг друга, т.к. тогда больше шансов выжить будет у В (52%) - как в ответе.

    Регламента тройной дуэли не существует, поэтому А и Б выгодно договориться, что стрелять нужно в В. Тогда В выживает лишь в 2%, А=42% и Б=55%. Разумеется, В при таком раскладе уже в воздух не стреляет, иначе нет шансов.

    Еще можно посмотреть, что будет, если Б решит соврать после договоренности с А. Пусть Б решится на обман в 25% случаев. Разумеется, если А видит, что Б его обманул, то А (если доживет) сразу меняет стратегию и начинает стрелять в Б. Шансы такие: А=35% Б=58% С=7%.

    ОтветитьУдалить