среда, 3 октября 2012 г.

Универсальная пробка

На рисунке показана универсальная пробка, которой можно заткнуть квадратное, круглое и треугольное отверстия. Радиус круглого основания равен единице, высота - двум единицам. Ребро в верхней части расположено строго над одним из диаметров основания и параллельно ему. Поверхность пробки можно рассматривать как образованную прямыми, соединяющими точки верхнего, прямолинейного, и нижнего, имеющего форму окружности, ребер. Каждая прямая параллельна одной из плоскостей, перпендикулярных верхнему ребру. Чему равен объем такой пробки? Задача решается без сложных вычислений.
Универсальная пробка
update
Первым правильно ответил svarog-777.
Ответ
π.
Любое поперечное сечение пробки плоскостью, перпендикулярной верхнему ребру и основанию, имеет вид треугольника. Если бы пробка была цилиндрической, соответствующие сечения были бы прямоугольниками, при этом площадь каждого прямоугольного сечения была бы вдвое больше площади треугольного сечения. Поскольку цилиндр можно считать составленным из прямоугольных поперечных сечений, объем универсальной пробки должен составлять половину объема цилиндра: объем цилиндра равен 2π, следовательно, объем универсальной пробки равен π.

4 комментария:

  1. Результат хорош, но как его вычислить без интеграла, пока не знаю :D

    ОтветитьУдалить
  2. ответ число Пи. Объем цилиндра равен двум Пи. Чтобы получить половину этой пробки надо разделить пополам цилиндр и симметрично по диагонали фигуры(половине цилиндра от верхнего правого) отделить лишнее. Таким образом отделиться ровно половина.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. 10 раз перечитывал, прежде чем понял. Не знаю, поянл ли правильно, но изящность решения "на пальцах" неоспорима, особенно по сравнению с муторным интегрированием в данном случае.
      Опишу подробно и по пунктам.

      1. Берем цилиндрик радиуса 1 и высотой 2, проводим диаметр на верхней грани.
      2. Мысленно рассекаем его на сечения параллельными плоскостями. Каждая плоскость перпендикулярна проведенному нами диаметру.
      3. В каждой плоскости имеем в сечении прямоугольник, а диаметр вырождается в точку посередине верхней стороны.
      4. Из этой точки (из п. 3) строим отрезок до левой нижней и правой нижней вершин прямоугольника. Отсекаем малые треугольники. Легко видеть, что площадь сечения уменьшилась ровно в два раза.
      5. Повторяем это во всех сечениях (из п. 2). В пределе их бесконечно много, с бесконечно малым расстоянием между секущими плоскостями.
      6. Секущие плоскости разбили исходный цилиндр на бесчисленное число слоев, каждый из которых уменьшился в два раза после отсечения лишнего - как по площади боковой поверхности, так и по объему.
      7. Проводя "интегрирование" "на пальцах", получаем, что общий объем фигуры сократился также вдвое.
      8. Ответ: Pi. (проверка интегрированием, причем двумя способами - по разным осям, дала тот же ответ)

      Удалить
    2. для олимпиады подошло бы твое решение, для ЕГЭ мое :))

      Удалить