понедельник, 15 июля 2013 г.

Уравнение

Решите уравнение:
Уравнение высокой степени
update
Первый - 67108864.
Ответ
Решение уравнения

Ещё немного алгебры:
Найдите x и y в равенстве.
Упростите выражение.

9 комментариев:

  1. Первый корень, тривиален. x_0 = -1000 (там все сокращается).
    Надо все вещественные? Или еще и все комплексные?

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Достаточно вещественных :) Или доказать, что их больше нет.

      Удалить
    2. Других вещественных нет, так как производная везде положительна (сумма из мономов со степенью 1998).

      Удалить
    3. Мы не знаем что такое производная. Нам бы попроще :)

      Удалить
    4. А мы знаем что такое "нечетная функция" и замена переменных?
      Так вот, сделаем замену t = x - 1000. Получим "нечетную" (хотя это мало важно).

      Далее покажем, что в интервале t \in [1..1000] - функция положительна (там часть сокращается, оставшаяся часть явно положительна).
      При t > 1000 - она тоже положительна, так как все мономы положительны.

      Осталось то, что раз функция нечетная, то при t < 0 значение функции будет отрицательным.

      То есть только один корень, при t = 0.

      Удалить
  2. так как все коэф. многочлена положительны, он строго возрастающий, ну и соответственно других корней кроме -1000 не может быть.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Про строгое возрастание не очень понятно. У обычной параболы тоже коэффициент положительный, но она не на всех интервалах возрастает.

      Удалить
    2. мда, что-то ступил, постараюсь исправиться)
      для удобства обозначим y=x+1000. тогда, при y>0, все пары - (y-k)^1999+(y+k)^1999 (k=1,...,1000) будут положительны (а так же число y^1999 посередине). аналогично, при y<0, отрицательны. следовательно других корней кроме y=0 или x=-1000 не может быть.

      Удалить
  3. Да, единственный корень -1000. Сделав замену переменных видно, что других корней нет.

    ОтветитьУдалить