А мы знаем что такое "нечетная функция" и замена переменных? Так вот, сделаем замену t = x - 1000. Получим "нечетную" (хотя это мало важно).
Далее покажем, что в интервале t \in [1..1000] - функция положительна (там часть сокращается, оставшаяся часть явно положительна). При t > 1000 - она тоже положительна, так как все мономы положительны.
Осталось то, что раз функция нечетная, то при t < 0 значение функции будет отрицательным.
мда, что-то ступил, постараюсь исправиться) для удобства обозначим y=x+1000. тогда, при y>0, все пары - (y-k)^1999+(y+k)^1999 (k=1,...,1000) будут положительны (а так же число y^1999 посередине). аналогично, при y<0, отрицательны. следовательно других корней кроме y=0 или x=-1000 не может быть.
Первый корень, тривиален. x_0 = -1000 (там все сокращается).
ОтветитьУдалитьНадо все вещественные? Или еще и все комплексные?
Достаточно вещественных :) Или доказать, что их больше нет.
УдалитьДругих вещественных нет, так как производная везде положительна (сумма из мономов со степенью 1998).
УдалитьМы не знаем что такое производная. Нам бы попроще :)
УдалитьА мы знаем что такое "нечетная функция" и замена переменных?
УдалитьТак вот, сделаем замену t = x - 1000. Получим "нечетную" (хотя это мало важно).
Далее покажем, что в интервале t \in [1..1000] - функция положительна (там часть сокращается, оставшаяся часть явно положительна).
При t > 1000 - она тоже положительна, так как все мономы положительны.
Осталось то, что раз функция нечетная, то при t < 0 значение функции будет отрицательным.
То есть только один корень, при t = 0.
так как все коэф. многочлена положительны, он строго возрастающий, ну и соответственно других корней кроме -1000 не может быть.
ОтветитьУдалитьПро строгое возрастание не очень понятно. У обычной параболы тоже коэффициент положительный, но она не на всех интервалах возрастает.
Удалитьмда, что-то ступил, постараюсь исправиться)
Удалитьдля удобства обозначим y=x+1000. тогда, при y>0, все пары - (y-k)^1999+(y+k)^1999 (k=1,...,1000) будут положительны (а так же число y^1999 посередине). аналогично, при y<0, отрицательны. следовательно других корней кроме y=0 или x=-1000 не может быть.
Да, единственный корень -1000. Сделав замену переменных видно, что других корней нет.
ОтветитьУдалить