пятница, 17 октября 2014 г.

S=P

Все числа от 1 до 15 разделили на две группы. В первую группу попали 13 из 15 чисел, во вторую - оставшиеся два числа. Могло ли так получиться, что сумма чисел первой группы оказалась равной произведению двух чисел второй группы?
update
Первый - Илья.
Ответ
Нет.
Пусть x, y - два числа из второй группы, тогда:
1+2+3+...+15-х-у=ху
120=xy+x+y
121=(x+1)(y+1)
Откуда единственный вариант x=y=10, что противоречит условиям.


Какая группа больше?
Как получить простое число?

6 комментариев:

  1. Простого доказательства пока не сочинил, но вроде получается что не может.

    Идея такая. Сумма всех чисел от 1 до 15 равна 120, число четное.
    Значит, если такая пара существует (что ее произведение равно сумме всех остальных), то оба этих числа должны быть четными (иначе четность произведения и суммы не будет совпадать).
    Легко понять, что если одно из этих двух чисел не больше 6, то произведение не больше 6*14=84 - слишком мало, чтобы совпадать с суммой всех остальных (которая будет не меньше 100). Значит, эти два числа среди 8, 10, 12 и 14, которых не так уж много. Если среди них нет 8, то произведение получается не меньше 120 - слишком много.
    Осталось проверить тре варианта с восьмеркой и убедиться, что ни один из них не подходит.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Но ведь нужно рассматривать сумму только чисел первой группы. А она может быть как чётной, так и нечётной. В зависимости о тех тринадцати чисел, которые в неё попадут.

      Удалить
    2. Четность суммы первой группы совпадает с четностью суммы второй группы, поскольку общая сумма четная.

      Если забрать два нечетных числа, то сумма оставшихся будет четной, а произведение этих двух - нечетное.
      Если забрать числа разной четности - то наоборот.

      Удалить
    3. Теперь понятно. Неплохой вариант.

      Удалить
  2. 1+2+3+...+15 -х-у=х*у
    тогда
    х =(120-y) /(1+y)

    в целых числах решением уравнения будет х=у=10 , но это противоречит условиям задачи

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Или так:
      1+2+3+...+15 -х-у=х*у
      120=xy+x+y
      121=(x+1)(y+1)
      Откуда единственный вариант x=y=10

      Удалить