среда, 8 октября 2014 г.

Три этажа

В трёхэтажном здании этажи соединены между собой только лифтом. Известно, что в течение рабочего дня количество посетителей, поднявшихся на третий этаж со второго, равно количеству посетителей, спустившихся со второго на первый. Также известно, что количество посетителей, выходящих из лифта на третьем этаже, меньше 1/3 от общего числа людей выходящих из лифта. Ночью в здании никого нет. Какая группа будет больше: количество посетителей, которые поднимаются с первого этажа на второй, или количество посетителей, которые поднимаются с первого этажа на третий?
update
Первый - Andrew Antonets.
Ответ
Посетителей, которые поднимаются с первого этажа на второй, больше.
Обозначим количество поездок с этажа на этаж как n12, n13 и т.д.
Разделим все поездки за день на три группы:
(n13+n23) - поездки на третий этаж;
(n31+n32) - поездки с третьего этажа;
(n12+n21) - поездки между первым и вторым этажами.
Отметим, что первая группа равна второй. Также, по условию задачи, количество посетителей, выходящих из лифта на третьем этаже, меньше 1/3 от общего числа людей выходящих из лифта. На основе этих условий можно записать следующее выражение:
(n13+n23)=(n31+n32)<(n12+n21)
А если принять во внимание, что n21=n23, то получим n13<n12

3 комментария:

  1. Построим матрицу переходов всех пользователей лифта:
    {{0,a12,a13},{a21,0,a23},{a31,a32,0}}
    где aij - вероятность, что посетитель с i-го этажа поедет на j-й. Сумма элементов любой строки равна 1 (зашедший в лифт где-то должен выйти).
    По условию a21=a23=0.5.
    Т.к. число выходящих на третьем меньше 1/3 всех выходящих, то a13+a23<1, значит a13<0.5. Тогда a12=1-a13 > 0.5, т.е. а12 > a13.
    Значит, число посетителей, поднимающихся с 1го на 2й этаж больше, чем поднимающихся с 1го на 3й.

    ОтветитьУдалить
  2. Альтернативный вариант решения - через потоки.
    Пусть с 1 на 2 едут x, с 1 на 3 - y. А со 2 этажа в обе стороны уезжают z.
    Тогда с 1 уехали x+y, а приехали z + (x+y-z). В скобках количество едущих с 3 на 1.
    Со 2 уехали 2z, приехали x + (2z-x). В скобках - количество едущих с 3 на 2.
    Проверка. На 3 приезжают y+z, уезжают (x+y-z+2z-x=y+z).

    Всего на разные этажи приезжают (x+y)+(2z)+(y+z)=x+2y+3z
    По условию 3(y+z)=3y+3z<x+2y+3z. Видно, что y<x, т.е. на второй едут больше, чем на 3-й. Сравнить прочие величины не получится: соотношения могут быть любыми.

    ОтветитьУдалить
  3. Действительно, на второй этаж посетителей поднимается больше.

    ОтветитьУдалить