понедельник, 6 октября 2014 г.

Полный квадрат

Алгебраическая разминка. Попробуйте доказать, что произведение четырёх последовательных положительных целых чисел не может быть полным квадратом.
Полное и неполное
update
Первый - Fred.
Ответ
Пусть n - меньшее из четырёх чисел, тогда
n(n+1)(n+2)(n+3)=(n^2+3n)(n^2+3n+2)=(n^2+3n+1)^2-1
Так как выражение вида x^2-1 не может быть полным квадратом, то и исходное произведение не будет им.

2 комментария:

  1. Пусть k*k=n*(n+1)*(n+2)*(n+3)=n*(n+3)*(n+1)*(n+2)=(n*n+3*n)*(n*n+3*n+2)=(m-1)*(m+1)=m*m-1
    где m= n*n+3*n+1
    k*k=m*m-1
    (m-k)*(m+k)=1
    m-k=+/-1 and m+k=+/-1
    m=+1 или -1 и k=0.
    0=k=n*(n+1)*(n+2)*(n+3)
    Следовательно n= 0 или -1 или -2 или -3.
    Противоречие с тем что n должно быть положительным.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Верно.
      Проще говоря полученное выражение m^2-1 не может быть полным квадратом.

      Удалить