пятница, 26 декабря 2014 г.

Проволока

Кусок проволоки, толщиной которой можно пренебречь, сложили пополам. Затем эту же операцию проделали ещё два раза. После чего все "слои" разрезали в одном месте. Из получившихся кусков случайно выбрали два. Их длины оказались равны 4 см и 9 см. Какой длины был кусок в самом начале? (Есть несколько вариантов ответа).

update
Первым был @arturdubro в твиттере.
Ответ
52 см, 68 см или 88 см.

3 комментария:

  1. Пусть длина сегмента проволоки после складывания равна x, а разрез сделан на расстоянии a от края проволоки. Тогда после разреза останутся два куска длиной a, три куска длиной 2a и четыре 2(x-a).
    Крайние случаи a=0 и a=x отпадают, т.к. мы бы не смогли выбрать куски указанной длины. Также отсеивается случай выбора кусков a и 2a.
    Таким образом, варианты сводятся к:
    1) a = 4 и 2(x-a) = 9. Тогда x = 8.5 и длина проволоки 8x = 68 см
    2) a = 9 и 2(x-a) = 4. Тогда x = 11 и длина проволоки 8x = 88 см
    3) 2a = 4 и 2(x-a) = 9. Тогда x = 6.5 и длина проволоки 8x = 52 см
    4) 2a = 9 и 2(x-a) = 4. В этом случае также x = 6.5, 8x = 52 см

    Итого, три варианта: 52, 68 или 88 см

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Верно! Получается три различных варианта.

      Удалить
  2. Вариант решения "простыми рассуждениями" - без алгебры!

    В первую очередь, можно видеть, что согнутую проволоку можно сложить "зигзагом" - получается 8 последовательно соединенных сегментов, и концы проволоки "смотрят", для определенности, вниз.
    Разрез в произвольном месте оставляет два одинаковых "концевых" куска и несколько согнутых пополам кусков: одни смотрели "вниз" сгибом (а, следовательно, ровно вдвое длиннее "концевых"), другие - вверх.

    Замечание в скобках означает, что в условии выбрали либо два согнутых пополам отрезка, либо один концевой и один согнутый, "смотревший" сгибом вверх.

    Рассмотрим первый случай, самый очевидный. Понятно, что суммарная длина обоих кусков - это дважды пройденный сегмент, то есть четверть всей проволоки: 4х(4+9)=52 см.

    Второй случай: без ограничения общности можно считать, что это концевой отрезок, плюс прилежащий к нему согнутый. Длина сегмента в таком случае - длина концевого плюс половина его соседа. А вся проволока в 8 раз длиннее.
    Так как неизвестно, какой из них какой, то есть два варианта:
    8х(4+9/2)=68 см
    8х(9+4/2)=88 см

    ОтветитьУдалить