четверг, 14 февраля 2013 г.

8 баров

Картинка к задаче про бары
В одном небольшом городе полиция разыскивает преступника. По оперативной информации стало известно, что есть четыре шанса из пяти, что он находится в одном из баров города. Всего в городе восемь баров. Преступник не отдает предпочтение ни одному из них, поэтому может находится в любом. Полиция посетила уже семь баров, но преступник не был обнаружен. Какова вероятность найти его в восьмом баре? Ответ обосновать.

update
Первым правильно ответил Илья.
Ответ
1/3.
Преступник находится в одном из восьми баров с вероятностью 4/5. Следовательно, вероятность его пребывания в каком-то конкретном баре равна (1/8)*(4/5)=1/10. Априорная вероятность того, что его не окажется ни в одном из семи баров, равна 1 - 7/10 = 3/10. Отсюда следует, что шансы обнаружить преступника в восьмом баре (при условии, что его не оказалось в семи предыдущих) равны (1/10)/(3/10)=1/3.
Ответ на задачу про преступника в баре

13 комментариев:

  1. Если бы было известно на 100%, что он в одном из баров, то вероятность найти его в восьмом баре была бы 100% (т.к. в семи предыдущих, как уже известно, его нет). Но, поскольку всего четыре шанса из пяти, что он вообще в баре, вероятность найти его в последнем 80%.

    ОтветитьУдалить
  2. 70%. вероятность, что он в одном из баров 4/(5*8)= 1/10, 7 баров обошли, т.е. вероятность того, что он в последнем 7/10

    ОтветитьУдалить
  3. Поначалу тоже думал, что вероятность 4/5 так и остается.
    Но раз этот вариант неверный, думаем дальше.

    Подозреваю, весь фокус в том, что нужно учитывать условную вероятность того, что полицейские найдут его в последнем баре (при условии, что он таки в баре, а не где-то еще). А значит, эта задача на формулу Байеса.

    Формализуем.
    Событие H1={он в каком-то баре}
    Событие H2={он где-то еще}
    Событие A={в первых семи барах он не обнаружен


    P(H1)=4/5
    P(H2)=1/5

    P(A|H1)=1/8 (вроде бы так)
    P(A|H2)=1

    По формуле полной вероятности

    P(A)=4/5*1/8+1/5*1=3/10

    Теперь применяем формулу Байеса:

    P(H1|A)=P(H1)*P(A|H1)/P(A)=1/3.

    Таким образом, получается неинтуитивный ответ 1/3.

    ОтветитьУдалить
  4. Вероятность 0%. Полицию дезинформировали. Преступник давно вышел из пятого бара, запрыгнул в дилижанс и уехал в Южную Америку, оставив за собой лишь клубы пыли.

    ОтветитьУдалить
  5. Известно:
    4/5 шанса, что он в одном из 8 баров города. Причем равновероятно, что он в каком-то конкретном баре. То есть, 10%, что он в баре №1, 10%, что в №2 и т.д.
    Еще 20%, что он "не в одном баре". Тут формулировка расплывчатая: это может означать, что он "где угодно, но не в баре", или "это, но также он может перемещаться от бара к бару". Но второй случай довольно мудреный, чтобы его разбирать досконально.

    Поэтому принимаем за условие: 20% шанса что он где-то, но не в баре. То есть, вероятность в два раза выше, чем если он в конкретном баре.

    Предположим, что произошло следующее: проверили все бары, и его там все же не нашли. Тогда 20% превращается в 100, а каждые 10 - в ноль. Причем, из физмат-интуиции, следует предположить, что скачок не будет слишком уж резким. То есть после последовательного безуспешного поиска в барах вероятность нахождения вне бара должна РАСТИ!
    Нужно найти инвариант. А это только пропорция, указанная выше. Если вероятность найти его в некотором баре равна P, то в неком другом непроверенном баре - тоже P, зато вне бара - 2P.

    Что изменится после облавы в первом баре? в первом - ноль, в остальных - X (одинаково), вне бара - 2X. 7*X+2X=1, т.е. X=1/9, или 11.11%

    И так далее, пока не проверим 7 баров.
    Тогда имеем - в 8-м баре X, не в баре - 2X. X+2X=1. Итого, шанс, что он в восьмом баре, равен 33.33%. А это точно совпало с приведенным выше решением с условной вероятностью.

    Так что ответ вполне интуитивен.

    ОтветитьУдалить
  6. Решения Ильи и Дендра подсказывают простое и популярное решение:
    Всего-то надо представить, что в городе есть еще 2 бара. И "не быть в одном из восьми" значит "быть в одном из этих двух гипотетических" (20%). Т.е. преступник равновероятно с вероятностью в 10% находится в одном из 10 баров. 7 баров проверили, осталось 3, среди которых будут проверять только 1. :-)

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Можно и графическим способом решить. Вот, наваял график :-)
      https://dl.dropbox.com/u/46024500/blogs/bandito.jpg

      Удалить
    2. Хорошее наглядное решение!

      Удалить
  7. Да, действительно, всё как-то так и есть.
    "В действительности всё не так, как на самом деле".

    Вот только в условии не сказано о равновероятности нахождения преступника в этих восьми барах. Мне сначала показалось, что я эту равновероятность нигде не использовал, но это, конечно, был самообман.
    1/8 в моем решении, на самом деле, как раз из равновероятности вытекает.

    На самом деле, равновероятность не требуется. Достаточно знать условную вероятность нахождения его в восьмом баре при условии, что он таки в каком-то из баров.

    Конечно, с учетом того, что эта информация существенна для решения и не дана в условии, можно исходить из любого удобного предположения, например, из равновероятности.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. -- Преступник не отдает предпочтение ни одному из них, поэтому может находится в любом. --

      Имхо это предложение говорит о том, что ни у одного бара нету приоритета перед остальными, т.е. вероятности их посещения равны.

      Удалить