пятница, 1 февраля 2013 г.

Экзамен

На одной скамейке сидят шесть студентов и письменно готовят ответы на экзаменационные билеты. По обе стороны этой скамейки есть проходы. В случайном порядке студенты заканчивают отвечать на вопросы, после чего сдают работу и уходят. Найдите вероятность того, что кому-то из экзаменующихся придётся побеспокоить кого-нибудь из оставшихся пяти товарищей для того, чтобы выйти из-за парты.
Экзамен
update
Первый - 67108864.
Ответ
43/45.
Для шести студентов вероятность того, что первому закончившему отвечать на вопросы не придётся никого беспокоить равна 2/6. Для пяти студентов эта вероятность равна 2/5 и т.д. Вероятность же того, что кому-то придётся побеспокоить кого-то из остальных равна
1 - (2/6)*(2/5)*(2/4)*(2/3) = 43/45.

8 комментариев:

  1. Если оставить математику в стороне и размышлять логически: Первый вариант - в кабинет последними зайдут наименее знающие ученики, следовательно сядут они с краев скамейки. Они же и напишут свои работы последними. Прибавив к этому закон подлости о том, что когда к ним будет приходить дельная мысль - их будут дергать и просить пропустить, то выходит вероятность равна 100%.
    Вариант второй - наименее знающие студенты сядут по обе стороны от отличников и будут списывать, так как этот процесс заведомо более долгий, то отличник будет уходить раньше и все равно побеспокоит одного из них.
    =)

    ОтветитьУдалить
  2. Практический подход :) Но студенты оказались идеальными и заканчивают отвечать на вопросы в случайном порядке :)

    ОтветитьУдалить
  3. Так как все равновероятно, то можно перебрать все 6! перестановок и посмотреть на неудачи.

    Обобщим на n участников.
    Тогда p(n) = (n - 2) / n + 2 / n * p(n - 1),
    и p(2) = 0
    где (n - 2) / n - вероятность того, что на первом ходу окажется кто-то из середины, 2 / n * p(n - 1), ушел кто-то крайний и задача свелась к меньшей.

    p(4) = 2/3
    p(5) = 13/15
    p(6) = 43/45

    Это решение в лоб.

    Видимо, можно проще, через количество хороших. Их должно быть 2^(n - 1), так на каждом шагу мы выбираем левого/правого.
    p(n) = 1 - 2^(n - 1) / n!

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Только зачем так сложно-то? Ответ - 1-P, где P - вероятность того, что никто никого тревожить не будет. А это 2/n * 2/(n-1) * ... 2/3

      Удалить
    2. Может для начала попытаться все-таки решить конкретно эту задачу? А не сразу обнимать необьятное для общего случая? :-)

      Удалить
    3. 43/45 правильный ответ.

      Удалить