Если известно, что a, b и c - различные числа, то как можно упростить это выражение?
На всякий случай замечу, что это не проверка того как вы умеете приводить дроби к общему знаменателю и раскрывать скобки :)
update
Первый - Илья.Ответ
При значениях x, равных a, b и c, данное выражение равно 1. Значит, оно равно 1 тождественно, так как квадратный трёхчлен не может иметь более двух корней.
Похожие:
(x-a)(x-b)(x-c)...(x-z)
sin(α)*sin(β)*sin(γ)*...*sin(ω)
По идее должен получиться 1.
ОтветитьУдалитьЭтот многочлен имеет не больше третей степени, но очевидно принимает значение 1 как минимум в трех точках: a, b, c. Значит, степень многочлена равна нулю.
Должно, конечно, опечатался.
УдалитьЭтот комментарий был удален автором.
Удалитьa, b и c - все различные значения, иначе знаменатели обратились бы в нуль. Подстановка каждого из них дает единицу.
УдалитьВ первом комментарии, естественно, степень не больше двух :)
УдалитьОпечатка не единственная была :)
Рассуждения правильные. Всё сокращается до 1.
Удалитьда , подстановка дает, но как это получить математически ?
ОтветитьУдалитьЧисло различных корней многочлена не превосходит его степени (исключение - нулевой многочлен). Раз есть три различных корня, то либо степень не меньше трех (что исключено), либо многочлен нулевой.
УдалитьВычитаем единицу из этого многочлена и видим, что получили многочлен с как минимум тремя различными корнями. Дальше - рассуждение из предыдущего абзаца.
Приводим к общему знаменателю (a-c)(b-c)(a-b).
ОтветитьУдалитьПосле раскрытия скобок в числителе сокращается все, что связано с X. Остаются одинаковые числитель и знаменатель, т.е. 1.
в результате раскрытия скобок получается выражение
ОтветитьУдалитьgx^2 + hx + d - где g, h, d коэфиценты квадратной функции
составляем систему уравнений
ga^2 + ha + d = 1
gb^2 + hb + d = 1
gc^2 +hc +d = 1
выражаем h = -g(a+b)
d = 1 + gab
g = 0
решаем получаем g = 0 h = 0 d = 1
исходно выражение равно 1
делаем замену:
ОтветитьУдалитьx1=x-a
x2=x-b
x3=x-c
тогда c-a=x1-x3 и т.д.
получаем выражение уже с 3мя переменными, знаменатели аналогичные, в числителях произведения 2х переменных