пятница, 14 июня 2013 г.

Упростить

Если известно, что a, b и c - различные числа, то как можно упростить это выражение?
Квадратный трёхчлен
На всякий случай замечу, что это не проверка того как вы умеете приводить дроби к общему знаменателю и раскрывать скобки :)

update
Первый - Илья.
Ответ
При значениях x, равных a, b и c, данное выражение равно 1. Значит, оно равно 1 тождественно, так как квадратный трёхчлен не может иметь более двух корней.

Похожие:
(x-a)(x-b)(x-c)...(x-z)
sin(α)*sin(β)*sin(γ)*...*sin(ω)

11 комментариев:

  1. По идее должен получиться 1.
    Этот многочлен имеет не больше третей степени, но очевидно принимает значение 1 как минимум в трех точках: a, b, c. Значит, степень многочлена равна нулю.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Должно, конечно, опечатался.

      Удалить
    2. Этот комментарий был удален автором.

      Удалить
    3. a, b и c - все различные значения, иначе знаменатели обратились бы в нуль. Подстановка каждого из них дает единицу.

      Удалить
    4. В первом комментарии, естественно, степень не больше двух :)
      Опечатка не единственная была :)

      Удалить
    5. Рассуждения правильные. Всё сокращается до 1.

      Удалить
  2. да , подстановка дает, но как это получить математически ?

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Число различных корней многочлена не превосходит его степени (исключение - нулевой многочлен). Раз есть три различных корня, то либо степень не меньше трех (что исключено), либо многочлен нулевой.

      Вычитаем единицу из этого многочлена и видим, что получили многочлен с как минимум тремя различными корнями. Дальше - рассуждение из предыдущего абзаца.

      Удалить
  3. Приводим к общему знаменателю (a-c)(b-c)(a-b).
    После раскрытия скобок в числителе сокращается все, что связано с X. Остаются одинаковые числитель и знаменатель, т.е. 1.

    ОтветитьУдалить
  4. в результате раскрытия скобок получается выражение

    gx^2 + hx + d - где g, h, d коэфиценты квадратной функции

    составляем систему уравнений

    ga^2 + ha + d = 1
    gb^2 + hb + d = 1
    gc^2 +hc +d = 1

    выражаем h = -g(a+b)
    d = 1 + gab
    g = 0
    решаем получаем g = 0 h = 0 d = 1

    исходно выражение равно 1

    ОтветитьУдалить
  5. делаем замену:
    x1=x-a
    x2=x-b
    x3=x-c

    тогда c-a=x1-x3 и т.д.
    получаем выражение уже с 3мя переменными, знаменатели аналогичные, в числителях произведения 2х переменных

    ОтветитьУдалить