На отлично

В ходе проверки успеваемости учеников школы выяснилось следующее:

69% на "отлично" знают физику;

74% на "отлично" знают литературу;

81% на "отлично" знают математику;

88% на "отлично" знают историю;

О каком проценте учеников заведомо можно сказать, что они на "отлично" знают все четыре предмета?

update

Первый - Дмитрий.
Ответ

12%.
Предположим, в школе всего 100 учеников. На этих учеников нужно распределить 69+74+81+88=312 оценок. При равномерном распределении на каждого ученика придётся по 3 оценки и ещё 12 оценок окажутся "лишними". Следовательно, как минимум 12 учеников являются отличниками по всем четырём предметам.

Про средний балл.

"Вредитель"

Эта интересная история произошла в одном из американских штатов. Вредитель, изображенный на картинке, уничтожал посевы местных фермеров. В результате чего фермеры ... установили памятник этому насекомому! Как это можно объяснить?

update

Первым правильно ответил Илья.
Ответ

История произошла в штате Алабама. Хлопковый долгоносик уничтожил посевы местных фермеров, после чего те вынуждены были выращивать другие культуры, в частности, арахис. Выращивание арахиса оказалось очень прибыльным делом, фермеры разбогатели и решили увековечить "вредителя".

Необычное требование.

Необычный итог референдума.

Ширмы

Математик решил отгородить один из углов прямоугольной комнаты. У него в наличии имеются две одинаковые ширмы, длина каждой из которых 4 м. При этом математик хочет сделать так, чтобы отгороженный участок комнаты имел максимально возможную площадь. Как ему следует расположить ширмы?

update

Первый - TheTriomo.
Ответ

Ширмы должны быть расположены на сторонах воображаемого правильного восьмиугольника. Площадь отгороженного угла при этом будет максимальна и равна 8(sqrt(2)+1) кв.м.

Найдите площадь фигуры.
Найдите длины сторон.
И сделайте разрез.

XO+1

Добавим в обычную игру крестики-нолики два нововведения. Во-первых, увеличим поле на одну клетку, как показано на рисунке. Во-вторых, если игрок хочет выиграть заняв нижний ряд, то он должен заполнить в нём четыре клетки. Остальные правила те же. Кто выиграет при правильной игре и как он должен играть?

update

Ответ

При правильной игре выигрывает первый игрок. Пронумеруем клетки слева направо, сверху вниз. Первый игрок должен начинать с клеток 2 или 6.

Объёмные крестики-нолики.

Нерешение

Дано уравнение: 187x - 104y = 41. Известно, что одна из перечисленных ниже пар не является решением этого уравнения:

1) x=3, y=5;

2) x=107, y=192;

3) x=211, y=379;

4) x=314, y=565;

5) x=419, y=753.

Определите без вычислений какая именно.

update

Первым правильно ответил dbsergey.
Ответ

Поскольку разность двух членов, стоящих в левой части уравнения, равна нечетному числу 41, то один из этих членов должен быть нечётным, а другой чётным числом. Так как 104y чётно, то 187x нечётно, а значит, нечётен x. Следовательно, пара x=314, у=565 не удовлетворяет нашему уравнению.

Может ли такое число быть простым?

Конфеты

Илья, участник нашего клуба, предлагает решить следующую задачу.
Двое сладкоежек играют в следующую игру. Перед ними три кучки конфет, в которых 100, 300 и 500 конфет соответственно. Каждый игрок в свой ход делает последовательно две операции: 1) съедает полностью одну из кучек по своему выбору; 2) выбирает одну из оставшихся и произвольным образом делит ее на две новые кучки так, чтобы в каждой новой кучке оказалось как минимум одна конфета (таким образом, делить кучку из одной конфеты уже нельзя, нужно выбрать другую). Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход (т.е. когда в каждой кучке останется по одной конфете). Кто выигрывает при правильной игре, первый или второй, и какова выигрышная стратегия?

Про шашки. 

Про корзинки и шарики.

ABCXYZ

Определите, какую цифру изображает каждая буква. Криптарифм решается без перебора вариантов.

update

Первым правильно ответил Илья.
Ответ

ABCXYZ=461538.
Пусть ABC=m, XYZ=n; тогда
7(1000m+n)=6(1000n+m)
6994m=5993n
538m=461n
Так как в последнем равенстве коэффициенты взаимно просты, то получаем m=ABC=461 и n=XYZ=538.

СНЕГ

ЗЕМЛЕТРЯСЕНИЕ

Спираль

На цилиндрическую трубу спиралью намотана проволока, которая образует 10 витков. Концы проволоки лежат на одной и той же образующей цилиндрической трубы. Длина трубы равна 9 см, а длина её внешней окружности составляет 4 см. Чему равна длина куска проволоки?

update

Первым был Andrew Antonets .
Ответ

41 см.
Если развернуть поверхность цилиндра на плоскость, то образующая, окружность десятикратно повторенная и проволока образуют прямоугольный треугольник. Длина проволоки - это длина гипотенузы, поэтому: L=sqrt(81+1600)=41 см.

Про универсальную пробку.

Засада

Шахматная разминка. Белые начинают и ставят мат в два хода. Автор - О. Делер, 1928 г.

update

Первым был Andrew Antonets .
Ответ

1. Фh7 ...
2. e7-e8ФX

Ещё:
В. Шпекман, 1968 г.
Л. Куббель, 1941 г.

Обмен

Задачка для программистов, которую любят задавать на собеседованиях. Даны две переменные, например, a=4 и b=7. Требуется поменять местами значения этих переменных (то есть должно получиться a=7 и b=4), но при этом нельзя использовать третью переменную. Нужен алгоритм, который легко реализовать на любом языке.

update

Первые - 67108864 и Roman Zhmakin.
Ответ

Есть несколько вариантов.
С помощью простых арифметических действий, например:
a = a + b;
b = a - b;
a = a - b;
С помощью функции xor (исключающее ИЛИ):
a = a XOR b;
b = a XOR b;
a = a XOR b;

И ещё - предложите самый быстрый алгоритм.

Кубок

В турнире участвуют 64 игрока. Играют по кубковой схеме, когда проигравший выбывает из турнира, а победитель поединка проходит дальше. Положение игрока в турнирной лестнице определяется жребием. Допустим, лучший игрок всегда побеждает второго по мастерству, а тот в свою очередь всегда выигрывает у всех остальных. Второе место в турнире занимает проигравший в финале. Какова вероятность, что второе место в турнире займёт второй по мастерству игрок?

update

Первым был Илья.
Ответ

32/63.
Второй по мастерству игрок может занять второе место, когда он находится в половине турнирной лестницы, не занимаемой лучшим игроком. Если в турнире всего 2^n игроков, то в половине лестницы 2^(n-1) ступеней. А число не занятых лучшим игроком начальных ступеней равно (2^n)-1. Таким образом, искомая вероятность рассчитывается как
P=(2^(n-1))/((2^n)-1)=32/63.

>34

На гранях игральной кости изображены цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5. Кость подбрасывают, а выпавшие очки прибавляют к общей сумме. Подбрасывания продолжаются до тех пор, пока эта сумма не станет больше 34. Чему, вероятнее всего, будет равна эта сумма?

update

Первый - Илья.
Ответ

Рассмотрим предпоследний бросок. После него общая сумма может быть равной 34, 33, 32, 31 или 30. Если она равна 34, то после последнего броска равные шансы имеют итоговые значения 35, 36, 37, 38 и 39. Если сумма равна 33, то итог может быть равен 34, 35, 36, 37 или 38. И так далее. Ясно, что наиболее вероятный вариант 35.

И ещё одна задача с игральной костью.

Вид сверху

Даны две проекции объемной детали - вид спереди и вид слева. Требуется построить вид сверху. Чертёж выполнен по правилам. Если бы требовались невидимые линии, они были бы показаны пунктиром. Есть два решения.

update

Первым был ‏@arturdubro в твиттере.
Ответ
Решение №1.

Решение №2.

Похожая задача.

Верёвки

Три верёвки привязаны к трём гвоздям на доске А и запутаны между собой. Требуется привязать к свободным концам этих верёвок три новые верёвки, а концы последних закрепить гвоздями на доске В. Цель манипуляций - получить три параллельно натянутые верёвки после того, как доски А и В будут разведены в стороны. Как это можно сделать?

update

Первым правильно ответил Waleriy.
Ответ

Заодно распутайте железные дороги.