четверг, 10 января 2013 г.

Кубок

В турнире участвуют 64 игрока. Играют по кубковой схеме, когда проигравший выбывает из турнира, а победитель поединка проходит дальше. Положение игрока в турнирной лестнице определяется жребием. Допустим, лучший игрок всегда побеждает второго по мастерству, а тот в свою очередь всегда выигрывает у всех остальных. Второе место в турнире занимает проигравший в финале. Какова вероятность, что второе место в турнире займёт второй по мастерству игрок?
play-off
update
Первым был Илья.
Ответ
32/63.
Второй по мастерству игрок может занять второе место, когда он находится в половине турнирной лестницы, не занимаемой лучшим игроком. Если в турнире всего 2^n игроков, то в половине лестницы 2^(n-1) ступеней. А число не занятых лучшим игроком начальных ступеней равно (2^n)-1. Таким образом, искомая вероятность рассчитывается как
P=(2^(n-1))/((2^n)-1)=32/63.

3 комментария:

  1. Для этого нужно, чтобы второй игрок не встретился с первым до финала. А значит, они должны попасть в разные половины таблицы.

    Вероятность этого близка к 1/2 :)

    Точнее: C_62^31*C_2^1/C_64^32=32/63.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Что-то чересчур сложная формула, через число сочетаний-то.
      Можно и проще, "на пальцах": пусть первый по мастерству попал в какую-то ячейку, одну из 64. Тогда второй по мастерству попадает слепым жребием в одну из 63. Но для того, чтобы он получил серебряную медаль, эта ячейка должна быть в другой половине таблицы - то есть его устроит любая из 32. Итого - 32/63.
      (продолжая, можно решить задачу о выигрыше им "хотя бы какой-то медали" - тогда ему надо _н_е_ попасть в одну и ту же четверть с первым, то есть шанс вырастает до 48/63=16/21)

      Удалить
    2. > Что-то чересчур сложная формула, через число сочетаний-то.

      Да, действительно. :)

      Удалить