понедельник, 21 января 2013 г.

Ширмы

Ширма
Математик решил отгородить один из углов прямоугольной комнаты. У него в наличии имеются две одинаковые ширмы, длина каждой из которых 4 м. При этом математик хочет сделать так, чтобы отгороженный участок комнаты имел максимально возможную площадь. Как ему следует расположить ширмы?

update
Первый - TheTriomo.
Ответ
Ширмы должны быть расположены на сторонах воображаемого правильного восьмиугольника. Площадь отгороженного угла при этом будет максимальна и равна 8(sqrt(2)+1) кв.м.


Найдите площадь фигуры.
Найдите длины сторон.
И сделайте разрез.

10 комментариев:

  1. У меня получилось, ширмы надо ставить под углом 135 градусов друг к другу. Ну и четырехугольник должен быть симметричным. Максимальая площадь тогда будет чуть больше 19 кв.м.

    Искал точки экстремума ф-ции площади, вооружившись теоремами синусов, косинусов, Пифагором и виндовым калькулятором :-)

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Все верно (по-крайней мере, если исходить из того, что четырехугольник должен быть симметричным. Я пока не знаю, как это просто обосновать.) Теоремы синусов и косинусов не понадобились, но использовалась одна экзотическая формула площади треугольника (через сторону и прилежащие углы). Впрочем, вполне возможно, она и выводится с помощью этих теорем. :)

      При этом половинки дельтоида получаются равнобедренными треугольниками (с основанием 4м и углом при вершине 45 градусов).
      Подозреваю, что этот результат можно обобщить на большее количество одинаковых ширм.

      Но ключевым вопросом остается следующий: как изменилось бы решение (и ответ) задачи, если бы ключевым действующим лицом был бы не математик, а, скажем, программист. Или врач. Или журналист. Или еше кто-нибудь. :)

      Удалить
    2. То, что 4угольник должен быть симметричным выходит из того, что:
      из всех-всех на свете прямоугольных треугольников с заданной гипотенузой наибольшую площадь имеет тот, что с равными катетами (это более-менее очевидно и доказывается несложно)
      Т.е. если предположить, что искомый 4уг-ник несимметричен, сразу увидим, что это предположение неверно, так как точно будет существовать симметричный с бОльшей площадью - надо только немного развернуть ширмы, не меняя угол между ними.

      Удалить
    3. Подумал, и пришел к выводу, что должно быть более простое решение и обоснование, без применения производных. :)

      Гипотеза: если нужно отгородить угол максимальной площади каким-то количеством одинаковых ширм, то следует расположить их как цепочку хорд к дуге соответствующего радиуса с центром в том самом углу комнаты.

      Как считаете, верно? :)

      Удалить
    4. Bingo! Илюха - ты гений!!! Можешь мне не выкать. Действительно есть более простое и красивое решение. И своим замечанием о том, что искомый 4уг-ник делится на два равнобедренных треугольника, ты меня к нему подтокнул. Вчера осенило - ведь этот дельтаплан есть не что иное, как четверть правильного 8уг-ника :-).
      Т.е. решение базируется на всем известном факте: чтобы 8 ширмами отхватить наибольшую территорию, надо выстроить их в форме правильного многоугольника. Если 8угольник максимален, значит максимальная и его четверть. Вуаля! :-)

      Удалить
    5. Действительно, 135 градусов должны были натолкнуть на мысль о правильном восьмиуголньике. :)

      Таким образом, гипотеза о большем числе ширм тоже верна.

      P.S. "Вы" - это было множественное число. Ну я предполагаю, что кроме нас двоих тут кто-нибудь еще есть. :)

      Удалить
    6. Хорошо раскрутили задачу! Действительно, искомую площадь можно рассмотреть как четверть правильного 8уг-ка.

      Удалить
  2. Этот комментарий был удален автором.

    ОтветитьУдалить
  3. Любая конфигурация ширм относительно угла однозначно задает, построенный двумя зеркальными отражениями, равносторонний восьмиугольник, площадь которого в 4 раза больше площади отгороженного участка.
    И возможность такой конфигурации, которая бы порождала восьмиугольник отличный от правильного, но имела бы большую площадь, противоречит утверждению: "Of all n-gons with a given perimeter, the one with the largest area is regular" (http://en.wikipedia.org/wiki/Regular_polygon#cite_ref-5)

    ОтветитьУдалить
  4. А если такая косметологическая ширма ww.ums-beauty.com.ua. Есть смысл отгадывать в этом случае?
    Мы всем салоном красоты о ширмах спорили)))

    ОтветитьУдалить