На гранях игральной кости изображены цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5. Кость подбрасывают, а выпавшие очки прибавляют к общей сумме. Подбрасывания продолжаются до тех пор, пока эта сумма не станет больше 34. Чему, вероятнее всего, будет равна эта сумма?
update
Первый - Илья.Ответ
И ещё одна задача с игральной костью.
Подозреваю, что 35.
ОтветитьУдалитьНесколько грубо, но с использованием динамического программирования:
ОтветитьУдалитьматрица a[i, j] выражает вероятность набрать заданную сумму i за j ходов.
База тривиальна: за один ход выбираем 0<i<6 по 1/6. Далее переход к следующему, от предыдущей суммы - накапливаем с 1/6 вероятности. То что больше 34 - просто суммируется.
После многих ходов видно распределение:
35=0,33333
36=0,26666
37=0,2
38=0,133
39=0,0666
Собственно, 35.
Тривиальное объяснение пока не имею, проще запрограммировать.
double[,] a = new double[41, 10000];
for (int i = 0; i < 6; i++ )
{
a[i, 1] = 1.0 / 6;
}
for (int move = 2; move < 1000; move++)
{
for (int sum = 0; sum <= 34; sum++)
{
for (int cur = 0; cur < 6; cur++)
{
a[sum + cur, move] += a[sum, move - 1]/6;
}
}
for (int after = 35; after <40; after++)
{
a[after, move] += a[after, move - 1];
}
}
Правильно, 35. Объяснение на самом деле очень простое.
ОтветитьУдалитьДа, 35 - это ближайшее кратное мат.ожиданию. Собственно, как TheTriomo ниже написал.
УдалитьЕсли все это дело направить в бесконечность, каждые 6 бросков увеличивают результат на 15, т.е. один бросок, грубо говоря, на 2,5. Т.е. после 14 бросков наиболее вероятный результат будет 35. (После 13 - 33 или 34)
ОтветитьУдалитьОтвет 35.
ОтветитьУдалитьПусть вероятность закончить игру с суммой S равна P(S), а вероятность на предпоследнем броске иметь сумму N равна Q(N).
Тогда
P(35)=(Q(34)+Q(33)+Q(32)+Q(31)+Q(30))/6
P(36)=(Q(34)+Q(33)+Q(32)+Q(31))/6
P(37)=(Q(34)+Q(33)+Q(32))/6
P(38)=(Q(34)+Q(33))/6
P(39)=Q(34)/6
Так как все Q(30) .. Q(34) > 0 то P(35) максимально.
Тогда такое, что последним ходом мы набрали не 0. То есть +1, ... , +5.
ОтветитьУдалитьПолучить N + 1 (N = 34) мы могли 5-ю ходами из 6, N + 2 - 4/6. И так далее. То есть k * (5/6 + 4/5 + 3/6 + 2/6 + 1/6) = 1. Откуда k = 0.4 и получаются все числа из пропорции.
Разницы между 34 и 33 (и любым другим достаточным числом нет). Уже на малых (N = 10) все сходится к этой пропорции. Там считать динамикой, в асимптотике получается указанная пропорция.
Спасибо за задачу! Побольше бы таких (на вероятности).
ОтветитьУдалитья думаю будет 36 из чисто логистических своих вычислений
ОтветитьУдалить