воскресенье, 6 января 2013 г.

>34

Игральная кость
На гранях игральной кости изображены цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5. Кость подбрасывают, а выпавшие очки прибавляют к общей сумме. Подбрасывания продолжаются до тех пор, пока эта сумма не станет больше 34. Чему, вероятнее всего, будет равна эта сумма?



update
Первый - Илья.
Ответ
Рассмотрим предпоследний бросок. После него общая сумма может быть равной 34, 33, 32, 31 или 30. Если она равна 34, то после последнего броска равные шансы имеют итоговые значения 35, 36, 37, 38 и 39. Если сумма равна 33, то итог может быть равен 34, 35, 36, 37 или 38. И так далее. Ясно, что наиболее вероятный вариант 35.

9 комментариев:

  1. Несколько грубо, но с использованием динамического программирования:
    матрица a[i, j] выражает вероятность набрать заданную сумму i за j ходов.
    База тривиальна: за один ход выбираем 0<i<6 по 1/6. Далее переход к следующему, от предыдущей суммы - накапливаем с 1/6 вероятности. То что больше 34 - просто суммируется.

    После многих ходов видно распределение:
    35=0,33333
    36=0,26666
    37=0,2
    38=0,133
    39=0,0666
    Собственно, 35.
    Тривиальное объяснение пока не имею, проще запрограммировать.


    double[,] a = new double[41, 10000];

    for (int i = 0; i < 6; i++ )
    {
    a[i, 1] = 1.0 / 6;
    }

    for (int move = 2; move < 1000; move++)
    {
    for (int sum = 0; sum <= 34; sum++)
    {
    for (int cur = 0; cur < 6; cur++)
    {
    a[sum + cur, move] += a[sum, move - 1]/6;
    }
    }

    for (int after = 35; after <40; after++)
    {
    a[after, move] += a[after, move - 1];
    }
    }

    ОтветитьУдалить
  2. Правильно, 35. Объяснение на самом деле очень простое.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Да, 35 - это ближайшее кратное мат.ожиданию. Собственно, как TheTriomo ниже написал.

      Удалить
  3. Если все это дело направить в бесконечность, каждые 6 бросков увеличивают результат на 15, т.е. один бросок, грубо говоря, на 2,5. Т.е. после 14 бросков наиболее вероятный результат будет 35. (После 13 - 33 или 34)

    ОтветитьУдалить
  4. Ответ 35.
    Пусть вероятность закончить игру с суммой S равна P(S), а вероятность на предпоследнем броске иметь сумму N равна Q(N).
    Тогда
    P(35)=(Q(34)+Q(33)+Q(32)+Q(31)+Q(30))/6
    P(36)=(Q(34)+Q(33)+Q(32)+Q(31))/6
    P(37)=(Q(34)+Q(33)+Q(32))/6
    P(38)=(Q(34)+Q(33))/6
    P(39)=Q(34)/6
    Так как все Q(30) .. Q(34) > 0 то P(35) максимально.

    ОтветитьУдалить
  5. Тогда такое, что последним ходом мы набрали не 0. То есть +1, ... , +5.
    Получить N + 1 (N = 34) мы могли 5-ю ходами из 6, N + 2 - 4/6. И так далее. То есть k * (5/6 + 4/5 + 3/6 + 2/6 + 1/6) = 1. Откуда k = 0.4 и получаются все числа из пропорции.

    Разницы между 34 и 33 (и любым другим достаточным числом нет). Уже на малых (N = 10) все сходится к этой пропорции. Там считать динамикой, в асимптотике получается указанная пропорция.

    ОтветитьУдалить
  6. Спасибо за задачу! Побольше бы таких (на вероятности).

    ОтветитьУдалить
  7. я думаю будет 36 из чисто логистических своих вычислений

    ОтветитьУдалить