На гранях игральной кости изображены цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5. Кость подбрасывают, а выпавшие очки прибавляют к общей сумме. Подбрасывания продолжаются до тех пор, пока эта сумма не станет больше 34. Чему, вероятнее всего, будет равна эта сумма?
update
Первый - Илья.Ответ
Рассмотрим предпоследний бросок. После него общая сумма может быть равной 34, 33, 32, 31 или 30. Если она равна 34, то после последнего броска равные шансы имеют итоговые значения 35, 36, 37, 38 и 39. Если сумма равна 33, то итог может быть равен 34, 35, 36, 37 или 38. И так далее. Ясно, что наиболее вероятный вариант 35.
И ещё одна задача с игральной костью.
Подозреваю, что 35.
ОтветитьУдалитьНесколько грубо, но с использованием динамического программирования:
ОтветитьУдалитьматрица a[i, j] выражает вероятность набрать заданную сумму i за j ходов.
База тривиальна: за один ход выбираем 0<i<6 по 1/6. Далее переход к следующему, от предыдущей суммы - накапливаем с 1/6 вероятности. То что больше 34 - просто суммируется.
После многих ходов видно распределение:
35=0,33333
36=0,26666
37=0,2
38=0,133
39=0,0666
Собственно, 35.
Тривиальное объяснение пока не имею, проще запрограммировать.
double[,] a = new double[41, 10000];
for (int i = 0; i < 6; i++ )
{
a[i, 1] = 1.0 / 6;
}
for (int move = 2; move < 1000; move++)
{
for (int sum = 0; sum <= 34; sum++)
{
for (int cur = 0; cur < 6; cur++)
{
a[sum + cur, move] += a[sum, move - 1]/6;
}
}
for (int after = 35; after <40; after++)
{
a[after, move] += a[after, move - 1];
}
}
Правильно, 35. Объяснение на самом деле очень простое.
ОтветитьУдалитьДа, 35 - это ближайшее кратное мат.ожиданию. Собственно, как TheTriomo ниже написал.
УдалитьЕсли все это дело направить в бесконечность, каждые 6 бросков увеличивают результат на 15, т.е. один бросок, грубо говоря, на 2,5. Т.е. после 14 бросков наиболее вероятный результат будет 35. (После 13 - 33 или 34)
ОтветитьУдалитьОтвет 35.
ОтветитьУдалитьПусть вероятность закончить игру с суммой S равна P(S), а вероятность на предпоследнем броске иметь сумму N равна Q(N).
Тогда
P(35)=(Q(34)+Q(33)+Q(32)+Q(31)+Q(30))/6
P(36)=(Q(34)+Q(33)+Q(32)+Q(31))/6
P(37)=(Q(34)+Q(33)+Q(32))/6
P(38)=(Q(34)+Q(33))/6
P(39)=Q(34)/6
Так как все Q(30) .. Q(34) > 0 то P(35) максимально.
Тогда такое, что последним ходом мы набрали не 0. То есть +1, ... , +5.
ОтветитьУдалитьПолучить N + 1 (N = 34) мы могли 5-ю ходами из 6, N + 2 - 4/6. И так далее. То есть k * (5/6 + 4/5 + 3/6 + 2/6 + 1/6) = 1. Откуда k = 0.4 и получаются все числа из пропорции.
Разницы между 34 и 33 (и любым другим достаточным числом нет). Уже на малых (N = 10) все сходится к этой пропорции. Там считать динамикой, в асимптотике получается указанная пропорция.
Спасибо за задачу! Побольше бы таких (на вероятности).
ОтветитьУдалитья думаю будет 36 из чисто логистических своих вычислений
ОтветитьУдалить