вторник, 13 мая 2014 г.

Бесконечные дроби

Небольшая проверка школьных знаний. Требуется разделить 8,0(48) на 0,0(04). Интересно, что ответ здесь легко угадывается, а вот способ решения не очевиден.
update
Первый - Дмитрий.
Ответ
1992.
Один из вариантов решения:
8,0(48) = 8 + 0,048 + 0,00048 + ... = 8 + S1
0,0(04) = 0,004 + 0,00004 + ... = S2
S1 и S2 - бесконечно убывающие геометрические прогрессии с q = 0,01.
S1 = 0,048/(1-0,01) = 48/990
S2 = 0,004/(1-0,01) = 4/990
8,0(48)/0,0(04) = (8+S1)/S2 = 1992

7 комментариев:

  1. Переведем бесконечные периодические дроби в обычные.
    Допустим x=8,0(48). 1000x=8048,(48). 10x=80,(48).
    1000x-10x=8048,(48)-80,(48)
    990x=7968.
    x=8,0(48)=7968/990.
    Аналогично 0,0(04)=4/990.
    Следовательно, 8,0(48)/0,0(04)=7968/4=1992

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Ещё один вариант получения обыкновенных дробей - с помощью суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

      Удалить
  2. Можно еще и так посчитать, уже чисто арифметически:
    8,0484848.../0,0040404...=(сократим на 4)
    =2,0121212.../0,0010101...=(отделим целую часть числителя от дробной, одновременно во втором слагаемом вынесем 12, как отдельный множитель)
    =(2+12*0,0010101...)/0,0010101=(разобьем на два слагаемых и проведем сокращение во втором)
    =2/0,0010101...+12=(домножим числитель и знаменатель первого слагаемого на 99)
    =2*99/0,0999...+12=(еще раз, теперь на 10)
    =198*10/0,999...+12=(заметим, что в знаменателе стоит не что иное, как просто альтернативная запись единицы)
    =1980+12=1992

    ОтветитьУдалить
  3. > ответ здесь легко угадывается

    Вот что тут самое интересное. Как? Я вот в упор не могу в этой дроби угадать 1992 :-D
    А приводить к обыкновенным дробям уж всех учили...

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Вычислив два значения, можно понять, что частное стремится к 1992:
      8,04848/0,00404=1992,198...
      8,0484848/0,0040404=1992,001...

      Удалить
    2. ну нифига себе, тут без калькулятора не угадаешь :D

      Удалить
    3. Так можно без калькулятора, в столбик разделить :) Под "угадывается" я имел в виду, что по результатам деления в лоб можно угадать правильный ответ, а уже потом доказать, что он правильный.

      Удалить