Площади равны.
Один из вариантов решения показан на рисунке. Так как диагонали параллельны, то при их зеркальном отражении они образуют диагональ большого прямоугольника. Площади 1=1', 2=2', а сумма 1+2+3 равна сумме 1'+2'+3'. Следовательно, площадь 3 равна площади 3'.
Можно еще и тангенсы посчитать. Впрочем, это все равно подобие треугольников, только другими словами.
Но нагляднее всего провести еще две диагонали в тех же прямоугольниках. Из общей симметрии они тоже должны быть параллельны - а по построению и вовсе быть отрезками на большой диагонали. Дальше очевидно.
В прочем, проведя их, мы знаем, что тангенсы у них равны (опираясь на не озвученное нами прямоугольное положение фигуры на бумаге), и есть общая точка -- значит, это один цельный отрезок. А домножив координату Y до превращения фигуры в квадрат, мы не теряем ни параллельность, ни искомое отношение площадей. Но прямоугольники по обе стороны диагонали станут равными.
Могу и полностью. И без тангенсов: иначе это читерство.
Лемма. Дано: два произвольных прямоугольника. Доказать: если их две диагонали параллельны друг другу, то параллельны друг другу и две другие. Доказательство: рассмотрим зеркальное отражение прямоугольников с проведенными диагоналями. Видно, что диагонали отобразились в другие диагонали. Следовательно, они также параллельны друг другу (но не первым двум, конечно).
Теперь возвращаемся к рисунку данной задачи. Левую верхнюю точку на рисунке обозначим A, правую нижнюю - С, а точку, где сходятся цветные прямоугольники - B. Из Леммы и условия следует, что AB||BC. Следовательно, треугольник ABC - вырожденный. Следовательно, точка B лежит на прямой AC.
А другими словами, диагональ большого прямоугольника проходит через точку "перекрестка". Ч.Т.Д.
В общем-то и без доказательств понятно, что два параллельных отрезка при зеркальном отражении остаются параллельными, а с общем точкой становятся одним отрезком.
Площади равны (подобие треугольников).
ОтветитьУдалитьЕсть такой вариант. А если не пользоваться подобием?
УдалитьМожно еще и тангенсы посчитать. Впрочем, это все равно подобие треугольников, только другими словами.
ОтветитьУдалитьНо нагляднее всего провести еще две диагонали в тех же прямоугольниках. Из общей симметрии они тоже должны быть параллельны - а по построению и вовсе быть отрезками на большой диагонали. Дальше очевидно.
Да, с диагональю большого прямоугольника получается наглядно.
УдалитьКак раз принадлежность их одной главной диагонали и нужно доказать. Вы этого не сделали.
УдалитьВ прочем, проведя их, мы знаем, что тангенсы у них равны (опираясь на не озвученное нами прямоугольное положение фигуры на бумаге), и есть общая точка -- значит, это один цельный отрезок.
УдалитьА домножив координату Y до превращения фигуры в квадрат, мы не теряем ни параллельность, ни искомое отношение площадей. Но прямоугольники по обе стороны диагонали станут равными.
Могу и полностью. И без тангенсов: иначе это читерство.
УдалитьЛемма.
Дано: два произвольных прямоугольника.
Доказать: если их две диагонали параллельны друг другу, то параллельны друг другу и две другие.
Доказательство: рассмотрим зеркальное отражение прямоугольников с проведенными диагоналями. Видно, что диагонали отобразились в другие диагонали. Следовательно, они также параллельны друг другу (но не первым двум, конечно).
Теперь возвращаемся к рисунку данной задачи.
Левую верхнюю точку на рисунке обозначим A, правую нижнюю - С, а точку, где сходятся цветные прямоугольники - B.
Из Леммы и условия следует, что AB||BC. Следовательно, треугольник ABC - вырожденный. Следовательно, точка B лежит на прямой AC.
А другими словами, диагональ большого прямоугольника проходит через точку "перекрестка".
Ч.Т.Д.
В общем-то и без доказательств понятно, что два параллельных отрезка при зеркальном отражении остаются параллельными, а с общем точкой становятся одним отрезком.
Удалить