пятница, 10 июля 2009 г.

Минутная и часовая стрелки часов

В поисках новых головоломок вспомнил о существовании такого замечательного журнала как "Квант". Помню, как ещё в школьные годы мне попался один из номеров и как много времени я потратил на решение напечатанных там задач. Задачи в "Кванте" очень трудные, для решения многих из них помимо сообразительности требуются нетривиальные знания математического аппарата. Но есть задачи, которые можно решить и без сложных вычислений. Хотя от этого они не становятся простыми. Вот одна из них.

Перед вами часы. Сколько существует положений стрелок, по которым нельзя определить время, если не знать, какая стрелка часовая, а какая - минутная? (Считается, что положение каждой из стрелок можно определить точно, но следить за тем, как стрелки двигаются, нельзя)

На рисунке приведен пример одного из таких положений стрелок.
Ответ
Предположим, что рядом с нашими часами (справа) другие, воображаемые, которые идут ровно в 12 раз быстрее. Пустим и те и другие часы одновременно, когда они показывают 12 часов; тогда часовая стрелка правых часов все время совпадает с минутной левых. Ясно, что интересующие нас «неразличимые» положения стрелок – в точности те, когда часовая стрелка левых совпадает с минутной правых, быстрых часов. Сколько же раз это произойдет? Из 12*12=144 оборотов, которые сделает минутная стрелка правых часов за то время, пока часовая стрелка «нормальных» сделает один оборот, на каждом обороте произойдет одно совпадение (включая начальную точку первого оборота); из них нужно исключить 12 случаев, когда совпадают все четыре стрелки, - остается 132. Ответ: существует 132 положения стрелок, удовлетворяющих условиям задачи.

Комментариев нет:

Отправить комментарий