понедельник, 7 сентября 2009 г.

Замечательные числа

числаДве задачи про замечательные числа. Первая головоломка - из "Царства смекалки" Игнатьева. Некоторое число оканчивается на 2. Если же эту его последнюю цифру переставить на первое место, то число удвоится. Найти это число.
Вторая задачка. Нужно найти число, первая цифра которого показывает сколько в этом числе нулей, вторая - сколько единиц, третья - сколько двоек и так далее. Десятая цифра показывает сколько в числе девяток. Вторую задачу встречал во многих местах и первоисточник найти сложно.

6 комментариев:

  1. первая задача - число 105263157894736842 =)

    ОтветитьУдалить
  2. В первой задаче рассуждения такие. Если число оканчивается на 2 и его увеличить в два раза, то получаем 4 в конце. То есть первоначальное число оканчивалось на 42. Если число оканчивающееся на 42 увеличить в два раза, то получим 84 на конце. Следовательно, первоначальное число оканчивалось на 842. И так далее.
    Вторая задача решается, наверное, простым подбором.

    ОтветитьУдалить
  3. Вторая.
    Не простым подбором.

    Число abcdefghij.

    Так как каждая цифра показывает количество некоторых цифр, то сумма a+b+...+j=10 (так как всего цифр 10)

    Начинаем с крупных и по убыванию...

    Предположим, что есть максимум одна 9-ка (двух быть не может, так как 9+9=18 уже >10), тогда j=1. b=1 быть не может (уже становится две единицы, что будет противоречить выражению b=1), значит минимум b=2, далее значит с=1 минимум. Так как где-то ещё есть цифра 9 (см. начало абзаца), то получаем j+b+c+9=13, уже >10
    Значит j=0.
    Имеем abcdefghi0.

    Таким же методом получаем, что i=0, h=0.

    Принимаем g=1, логически находим число 6210001000

    Ищем другие решения. Полагаем g=0
    abcdef0000
    Одна цифра 5. f=1. и т.д. решения нет (самые близкие в процессе решения ошибочные 5301010000, 5311010000 и т.п.)...

    abcde00000
    a не меньше 5, так как уже пять нолей, но остались только цифры меньше пяти, противоречие. Дальше решений нет.

    Получаем единственное 6210001000

    ОтветитьУдалить