Обозначим точку посередине нижней стороны треугольника буквой С и рассмотрим там первое правило Кирхгофа: I1+I2-I3-I4=0 (токи пронумерованы по часовой стрелке, начиная от входящего из точки А). Знаки расставлены пока чисто гипотетические, но основываясь на здравом смысле и считая, что ток течет из А в В.
Ток I1=U1/R, а I4=U4/R. Здесь U1 и U4 - напряжения между точками, соответственно, А-С и С-В. Запишем в потенциалах: U1=phi(C)-phi(A), U4=phi(B)-phi(C), и также U=phi(B)-phi(A). В силу зеркальной симметрии схемы, можем предположить, что 2*phi(C)=phi(A)+phi(B) - среднее арифметическое между двумя потенциалами. Следовательно, U1=U4=(phi(B)-phi(A))/2=U/2 и следовательно I1=I4.
Тогда имеем, что правило Кирхгофа упрощается: I2-I3=0.
Это означает, что в точке С мы можем отделить вершину внутреннего треугольника от стороны внешнего - вольт-амперная характеристика от этого не изменится: phi(C) по прежнему среднее арифметическое в обеих частях разделенного 4х-контакта, в силу все той же симметрии.
Тогда получаем, что в середине большой схемы подвешена ровно такая же, просто меньшего масштаба. Обозначим ее сопротивление за Х, как и сопротивление общей схемы. И теперь получаем довольно простую, "школьную" схему: параллельный участок 1 - R+R параллельный участок 2 - R+Y+R где Y состоит тоже из двух параллельных участков цепи (R+R и Х). Суммарное сопротивление равно 4R(X+R)/(3X+4R)=X, и решение этого уравнения дает ответ Х=2R/sqrt(3)
P.S. Интересно, что получилась сторона равностороннего треугольника при заданной высоте R.
Решить задачу необходимо было для бесконечной цепи, т.е для бесконечного количества внутреннх треугольников. Для одного внешнего треугольника сопротивление Х= R*8/6, для двух треугольникоа Х=R*7/6, для трех треугольников Х=R*52/45. Задача элементарно решается по принципу симметрии левой и правой части схемы и и всилу этого эквипотенциальные точки можно сооединять или разрывать, для упрощения решения.
При количестве внутренних треугольников стремящихся к бесконечности, сопротивление стороны треугольника будет стремится к X=R. Таким образом схема будет выглядет в виде внешнего треугольника с 6 сопротивлениями и внутреннего треугольника с сопротивлением каждой стороны равной X=R. После элементарных вычислений получим сопротивление между А и В равным1 ,1111111...R
у меня получилось Rab=sqrt(2/3)*2R/3.
ОтветитьУдалитьрешение:преобразованием треугольник-звезда приводим систему к треугольнику а затем по формуле для параллельного соединения считаем Rab.
Мой ответ немного отличается.
ОтветитьУдалитьОбозначим точку посередине нижней стороны треугольника буквой С и рассмотрим там первое правило Кирхгофа:
ОтветитьУдалитьI1+I2-I3-I4=0
(токи пронумерованы по часовой стрелке, начиная от входящего из точки А). Знаки расставлены пока чисто гипотетические, но основываясь на здравом смысле и считая, что ток течет из А в В.
Ток I1=U1/R, а I4=U4/R. Здесь U1 и U4 - напряжения между точками, соответственно, А-С и С-В. Запишем в потенциалах: U1=phi(C)-phi(A), U4=phi(B)-phi(C), и также U=phi(B)-phi(A).
В силу зеркальной симметрии схемы, можем предположить, что 2*phi(C)=phi(A)+phi(B) - среднее арифметическое между двумя потенциалами.
Следовательно, U1=U4=(phi(B)-phi(A))/2=U/2 и следовательно I1=I4.
Тогда имеем, что правило Кирхгофа упрощается: I2-I3=0.
Это означает, что в точке С мы можем отделить вершину внутреннего треугольника от стороны внешнего - вольт-амперная характеристика от этого не изменится: phi(C) по прежнему среднее арифметическое в обеих частях разделенного 4х-контакта, в силу все той же симметрии.
Тогда получаем, что в середине большой схемы подвешена ровно такая же, просто меньшего масштаба. Обозначим ее сопротивление за Х, как и сопротивление общей схемы.
И теперь получаем довольно простую, "школьную" схему:
параллельный участок 1 - R+R
параллельный участок 2 - R+Y+R
где Y состоит тоже из двух параллельных участков цепи (R+R и Х).
Суммарное сопротивление равно 4R(X+R)/(3X+4R)=X, и решение этого уравнения дает ответ Х=2R/sqrt(3)
P.S. Интересно, что получилась сторона равностороннего треугольника при заданной высоте R.
Это правильный ответ!
ОтветитьУдалитьРешить задачу необходимо было для бесконечной цепи, т.е для бесконечного количества внутреннх треугольников. Для одного внешнего треугольника сопротивление Х= R*8/6, для двух треугольникоа Х=R*7/6, для трех треугольников Х=R*52/45. Задача элементарно решается по принципу симметрии левой и правой части схемы и и всилу этого эквипотенциальные точки можно сооединять или разрывать, для упрощения решения.
УдалитьПри количестве внутренних треугольников стремящихся к бесконечности, сопротивление стороны треугольника будет стремится к X=R. Таким образом схема будет выглядет в виде внешнего треугольника с 6 сопротивлениями и внутреннего треугольника с сопротивлением каждой стороны равной X=R. После элементарных вычислений получим сопротивление между А и В равным1 ,1111111...R
ОтветитьУдалить