среда, 14 сентября 2011 г.

Rab

Найдите сопротивление между клеммами А и В бесконечной цепи, схема которой изображена на рисунке. Решение объясните.
Бесконечная цепь резисторов
update
Первым правильно ответил Dendr.
Ответ
2R/sqrt(3).
Решение в комментариях.

Также попробуйте найти сопротивление вот этой бесконечной цепи.

6 комментариев:

  1. у меня получилось Rab=sqrt(2/3)*2R/3.

    решение:преобразованием треугольник-звезда приводим систему к треугольнику а затем по формуле для параллельного соединения считаем Rab.

    ОтветитьУдалить
  2. Мой ответ немного отличается.

    ОтветитьУдалить
  3. Обозначим точку посередине нижней стороны треугольника буквой С и рассмотрим там первое правило Кирхгофа:
    I1+I2-I3-I4=0
    (токи пронумерованы по часовой стрелке, начиная от входящего из точки А). Знаки расставлены пока чисто гипотетические, но основываясь на здравом смысле и считая, что ток течет из А в В.

    Ток I1=U1/R, а I4=U4/R. Здесь U1 и U4 - напряжения между точками, соответственно, А-С и С-В. Запишем в потенциалах: U1=phi(C)-phi(A), U4=phi(B)-phi(C), и также U=phi(B)-phi(A).
    В силу зеркальной симметрии схемы, можем предположить, что 2*phi(C)=phi(A)+phi(B) - среднее арифметическое между двумя потенциалами.
    Следовательно, U1=U4=(phi(B)-phi(A))/2=U/2 и следовательно I1=I4.

    Тогда имеем, что правило Кирхгофа упрощается: I2-I3=0.

    Это означает, что в точке С мы можем отделить вершину внутреннего треугольника от стороны внешнего - вольт-амперная характеристика от этого не изменится: phi(C) по прежнему среднее арифметическое в обеих частях разделенного 4х-контакта, в силу все той же симметрии.

    Тогда получаем, что в середине большой схемы подвешена ровно такая же, просто меньшего масштаба. Обозначим ее сопротивление за Х, как и сопротивление общей схемы.
    И теперь получаем довольно простую, "школьную" схему:
    параллельный участок 1 - R+R
    параллельный участок 2 - R+Y+R
    где Y состоит тоже из двух параллельных участков цепи (R+R и Х).
    Суммарное сопротивление равно 4R(X+R)/(3X+4R)=X, и решение этого уравнения дает ответ Х=2R/sqrt(3)

    P.S. Интересно, что получилась сторона равностороннего треугольника при заданной высоте R.

    ОтветитьУдалить
  4. Ответы
    1. Решить задачу необходимо было для бесконечной цепи, т.е для бесконечного количества внутреннх треугольников. Для одного внешнего треугольника сопротивление Х= R*8/6, для двух треугольникоа Х=R*7/6, для трех треугольников Х=R*52/45. Задача элементарно решается по принципу симметрии левой и правой части схемы и и всилу этого эквипотенциальные точки можно сооединять или разрывать, для упрощения решения.

      Удалить
  5. При количестве внутренних треугольников стремящихся к бесконечности, сопротивление стороны треугольника будет стремится к X=R. Таким образом схема будет выглядет в виде внешнего треугольника с 6 сопротивлениями и внутреннего треугольника с сопротивлением каждой стороны равной X=R. После элементарных вычислений получим сопротивление между А и В равным1 ,1111111...R

    ОтветитьУдалить