Два бруска

Два бруска массами M1 и M2 покоятся на горизонтальной и идеально гладкой поверхности. К левому бруску прикладывается сила F. Эта сила будет действовать и на правый брусок. По третьему закону Ньютона второй брусок должен действовать на первый с равной по величине и противоположной по направлению силой -F. Так как трение отсутствует, то результирующая сила S, действующая на левый брусок, равна сумме приложенной силы F и силы реакции -F второго бруска: S = F + (-F) = 0.
Откуда можно найти ускорение левого бруска: a1 = S/M1 = 0.
То есть получается, что независимо от величины силы F, она никогда не сдвинет с места брусок M1?

update

Первым ошибку в рассуждениях нашёл Fred.
Ответ

Ошибочность приведённого рассуждения заключается в необоснованности предположения, что сила F передаётся через брусок M1 полностью бруску M2. На самом деле, на бруок M2 действует какая-то сила F', не равная F. Тогда к бруску M1 будет приложена сила S=F-F'. И в соответствии со вторым законом Ньютона получаем:
a1=(F-F')/M1 и a2=F'/M2
Так как бруски соприкасаются, их ускорения должны быть равны:
a1=a2=a, откуда (F-F')/M1=F'/M2
Таким образом, F'=F*M2/(M1+M2) и a=F/(M1+M2)

5 литров

Имеется три сосуда вместимостью 10, 7 и 3 литра. Первый из них наполнен водой. Как перелить ровно 5 литров воды в 7-литровый сосуд? Таблица с номерами операций в первом столбце вам в помощь.

update

Первый - Andrew Antonets.
Ответ

И ещё одна головоломка на эту же тему.

2 кг и 7 кг

Мешок сахарного песка массой 9 кг нужно пересыпать в два мешка: в один - 2 кг, в другой - 7 кг. Имеются чашечные весы с гирями в 50 и 200 г. Как это сделать при помощи только трёх взвешиваний?

update

Первый - Andrew Antonets.
Ответ

Первым взвешиванием сахарный песок делится на две равные части по 4,5 кг, гири при этом не требуются. Вторым взвешиванием 4,5 кг делится также на две равные части по 2,25 кг. При третьем взвешивании на одну чашу весов кладём обе гири общей массой 0,25 кг, а на другую часу весов отсыпаем сахар из кучи в 2,25 кг. В итоге получаем в одном из мешков 2 кг сахара. Остальной сахар высыпаем в один мешок, там будет 7 кг.

Давно не было головоломок со взвешиванием:
Про неправильные надписи.
Про 8 шаров.

Сколько детей у Альберта?

На этом генеалогическом дереве количество детей у каждого человека каким-то образом взаимосвязано с его именем. Определите количество детей у Альберта.

update

Первым правильно ответил Илья Громов.
Ответ

1.
Гласным присвоены следующие веса: а=0, e=1, i=2, o=3, u=4. Сумма весов гласных в имени и есть количество детей у этого человека.

Асфальт, дядя, наслаждение, уходить.

Карты

Про карты на рисунке известно, что:

а) король находится дальше от валета, чем валет от дамы;

б) туз ближе к валету, чем дама;

в) от карты пиковой масти до карты трефовой масти расстояние меньше, чем от карты бубновой масти до карты пиковой масти;

г) карта трефовой масти лежит дальше от карты пиковой масти, нежели карта червонной масти;

д) карта червонной масти лежит рядом с королем слева.

Где какая карта?

update

Быстрее всех был @arturdubro в твиттере.
Ответ

1 - бубновый валет,
2 - трефовый туз,
3 - червонная дама,
4 - пиковый король.

"Если на одной стороне карточки гласная буква, то на другой стороне этой карточки - четное число"

8 баров

В одном небольшом городе полиция разыскивает преступника. По оперативной информации стало известно, что есть четыре шанса из пяти, что он находится в одном из баров города. Всего в городе восемь баров. Преступник не отдает предпочтение ни одному из них, поэтому может находится в любом. Полиция посетила уже семь баров, но преступник не был обнаружен. Какова вероятность найти его в восьмом баре? Ответ обосновать.

update

Первым правильно ответил Илья.
Ответ

1/3.
Преступник находится в одном из восьми баров с вероятностью 4/5. Следовательно, вероятность его пребывания в каком-то конкретном баре равна (1/8)*(4/5)=1/10. Априорная вероятность того, что его не окажется ни в одном из семи баров, равна 1 - 7/10 = 3/10. Отсюда следует, что шансы обнаружить преступника в восьмом баре (при условии, что его не оказалось в семи предыдущих) равны (1/10)/(3/10)=1/3.

Беспокойный экзамен.

На 27 кубиков

Перед плотником стоит задача разрезать деревянный куб со стороной 30 см на 27 кубиков со стороной 10 см. Если зафиксировать соответствующим образом исходный куб, то можно легко распилить его на 27 нужных частей, сделав при этом всего шесть распилов. Теперь представим, что плотник может после каждого распила переставлять получившиеся части и фиксировать их в нужном для следующей операции положении. Какое наименьшее число распилов ему потребуется теперь?

update

Первый правильный ответ - dbsergey.
Ответ

6.
Для отделения центрального кубика от остальных потребуется 6 разрезов. Поэтому меньше, чем за 6 распилов сделать 27 кубиков не получится.

Про быстрый способ нахождения площади поверхности невидимого куба.

Сумма степеней

Чему равна сумма?

update

Первый - dbsergey.
Ответ

2^(n+1) - 2.
Рассмотрим выражение в двоичной системе счисления. Искомая сумма будет записана с помощью n единиц и одного нуля. Если прибавить к нашей сумме ещё две единицы, то получится число, состоящее из одной единицы и n+1 нулей (в десятичной системе 2^(n+1)). Следовательно, наше выражение будет равно 2^(n+1) - 2.

И что больше?

Третий вид

Потренируем пространственное мышление. На рисунке изображены две проекции объёмной детали: вид спереди и вид слева. Как будет выглядеть вид сверху? Есть два решения.

update

Ответ

Подобное: вид слева и вид сверху.

Прогулка

Перед походом в лес грибник взглянул на часы и запомнил, что в тот момент было где-то между 9 и 10 часами утра, а стрелки часов были совмещены. Когда он вернулся домой, то опять взглянул на часы, на которых было между 3 и 4 часами дня. Интересно, что в тот момент стрелки часов были направлены прямо в противоположные стороны. Как долго грибник был в лесу?

update

Быстрее всех был @arturdubro в твиттере.
Ответ

Ровно 6 часов.
Допустим, часы показывают между 9 и 10 часами и стрелки совмещены. Теперь мысленно перевернём часовую стрелку в противоположную сторону. Это будет равносильно тому, что пройдёт 6 часов. При этом часы будут показывать между 3 и 4 часами, а стрелки будут направлены прямо в противоположные стороны.

Как долго горели свечи?

Шахматная раскраска

Некоторые фигуры на рисунке должны быть чёрного цвета. Укажите какие именно, если известно, что на доске позиция мата и партия была реальной. Будьте внимательны, есть только одно правильное решение.

update

Первый - 67108864.
Ответ

Последний ход чёрных - b5:a4
Последний ход белых - b7:a8ЛX

Восстановите последние шаги.

Ход назад и мат

После хода белых на доске возникла ситуация, которая показана на рисунке. Но если бы игрок был внимательнее и сходил иначе, то чёрному королю был бы поставлен мат. Верните последний ход белых, после чего дайте мат в один ход.

update

Первым точный ответ дал Andrew Antonets.
Ответ

Позиция ходом ранее:

Далее белые ставят мат в один ход: 1. d7-d8КX!

В этой задаче нужно вернуть по одному ходу белым и чёрным.

Экзамен

На одной скамейке сидят шесть студентов и письменно готовят ответы на экзаменационные билеты. По обе стороны этой скамейки есть проходы. В случайном порядке студенты заканчивают отвечать на вопросы, после чего сдают работу и уходят. Найдите вероятность того, что кому-то из экзаменующихся придётся побеспокоить кого-нибудь из оставшихся пяти товарищей для того, чтобы выйти из-за парты.

update

Первый - 67108864.
Ответ

43/45.
Для шести студентов вероятность того, что первому закончившему отвечать на вопросы не придётся никого беспокоить равна 2/6. Для пяти студентов эта вероятность равна 2/5 и т.д. Вероятность же того, что кому-то придётся побеспокоить кого-то из остальных равна
1 - (2/6)*(2/5)*(2/4)*(2/3) = 43/45.

Стоит ли менять свой выбор?