12 монет

Из 12 одинаковых с виду монет одна фальшивая. Она отличается по весу, но неизвестно в какую сторону. То есть может быть как легче, так и тяжелее остальных. Как с помощью трёх взвешиваний на чашечных весах без гирь определить фальшивую монету?

update

Первый - Dendr. Ответ в комментариях.


Из этой же серии - одна настоящая монета.

Вирус

На начальном этапе все клетки квадратной сетки размером 10 на 10 делятся на здоровые и заражённые. Но вирус распространяется и на каждом новом этапе клетка становится заражённой, если среди её ортогональных соседей имеется две и более инфицированных клетки. Например, на рисунке белым цветом обозначены здоровые клетки; красным - заражённые; а жёлтым - клетки, которые будут инфицированы на следующем этапе. Каким должно быть наименьшее число заражённых клеток, чтобы инфекции удалось распространиться по всей сетке?

update

Ответ

10.
Периметр зараженной площади на новых этапах не увеличивается. Так как общий периметр сетки равен 4*10=40, то и изначальный периметр всех зараженных клеток должен быть не меньше 40. То есть нам понадобится минимум 10 клеток. Простой пример их расположения - по диагонали сетки.

Как замостить фигуру плитками?

Выборы

Выборы были организованы таким образом, что каждый избиратель писал на своём бюллетене имена N кандидатов. Далее этот бюллетень помещался в одну из N+1 избирательных урн. При подсчёте голосов было отмечено, что каждая урна содержала по крайней мере один бюллетень. Также установлено, что если из каждой урны случайно выбрать по одному бюллетеню, то имя одного из кандидатов обязательно бы присутствовало во всех N+1 выбранных бюллетенях. Докажите, что в этом случае существует имя кандидата, которое будет присутствовать на всех бюллетенях хотя бы одной из урн.

update

Первый - Dendr.
Ответ

Предположим, что нет такого кандидата, чьё имя обязательно будет присутствовать на всех бюллетенях хотя бы одной из урн. Возьмём произвольный бюллетень в первой урне. В нём перечислено N кандидатов. Обозначим их числами от 1 до N. Исходя из нашего предположения мы теперь может найти во второй урне бюллетень, в котором не будет кандидата 1; в третьей урне найдётся бюллетень, в котором не будет кандидата 2 и так далее. Соберем эти N+1 бюллетеней вместе. Получается, что из каждой урны выбрано по одному бюллетеню, но не найдётся ни одного кандидата, чьё имя присутствовало бы на всех выбранных бюллетенях. А это противоречит условию задачи. Следовательно, наше изначальное предположение неверно. То есть, существует имя кандидата, которое будет присутствовать на всех бюллетенях хотя бы одной из урн.

И ещё - логичные выборы.

Что? Где? Когда? Вторая игра весенней серии 2004

Против телезрителей играла команда Андрея Козлова.

Первый раунд.
Мы с вами сталкиваемся с ними довольно часто. И хотя обращаться с ними очень просто, на некоторых из них можно встретить инструкцию по использованию. Причём на одной и той же может быть сразу две инструкции, которые полностью противоречат друг другу. О чём идёт речь?
Ответ
О дверях.
Знатоки ответили правильно. Счёт 1-0.

Второй раунд.
"Актёру надо давать свободу. Он должен творить." - так считал Константин Сергеевич Станиславский. "У актёра не должно быть свободы. Он должен быть инструментом в руках режиссёра." - так утверждал Всеволод Эмильевич Мейерхольд. В каком произведении нашли своё отражение позиции этих двух выдающихся театральных режиссёров 20 века?
Ответ
В сказке "Золотой ключик".
Знатоки ответили неправильно. Счёт 1-1.

Третий раунд. 13-й сектор.
Слепой Гомер спросил рыбаков: "Что вы делаете?" Они ответили: "Всё, что поймаем, - отбросим; чего не поймаем - уносим." Что делали рыбаки?
Ответ
Два рыбака сидели на берегу Иоса и обирали вшей.
Знатоки ответили правильно. Счёт 2-1.

Три квадрата

Длина синих спичек в два раза превышает длину оранжевых. Толщину можно не учитывать. Как, используя по четыре спички каждого цвета, получить три квадрата одинакового размера без лишних элементов?

update

Первый - Медалист.
Ответ

Шахматы и живопись

Молодой человек на картине размышляет над следующей двухходовкой.

Поможем ему.

update

Первый - Andrew Antonets.
Ответ

Первым ходом белые ставят коня на d4.

Лабиринт

Лабиринт имеет размеры 8 на 8 клеток. Вы находитесь в левом нижнем углу. Выход расположен в правом верхнем углу. За один ход можно переместиться в направлении стрелки в соседнюю клетку. После того, как вы ушли из клетки, направление в ней меняется на 90 градусов по часовой стрелке. Если границы лабиринта мешают двигаться дальше, то вы остаётесь в клетке, а направление в ней поворачивается на 90 градусов по часовой стрелке и следующий ход можно сделать в новом направлении. Докажите, что из этого лабиринта можно выбраться при любом начальном положении стрелок в клетках.

update

Первый - Andrew Antonets.
Ответ

Предположим, что вы останетесь в лабиринте навсегда. Так как число клеток конечно, то по крайней мере одну из них вы посетите бесконечное число раз. А так как направление в этой клетке меняется после каждого посещения, то все смежные клетки вы также посетите бесконечное число раз. И так далее. Таким образом правую верхнюю клетку вы также посетите бесконечное количество раз. Но в какой-то момент она будет указывать на выход. Следовательно, остаться в лабиринте навсегда нельзя.

Ещё один лабиринт.

105 монет

На столе лежат три кучки монет. В первой - 51 монета, во второй - 49, в третьей - 5. Разрешается либо объединять две кучки в одну, либо разделять группу с чётным числом монет на две одинаковые кучки. Можно ли в результате многократного повторения таких манипуляций получить 105 отдельно лежащих монет? И если можно, то какой должна быть последовательность действий?

update

Первый - Медалист.
Ответ

Нельзя.
Если сложить 51 и 49, то получится 100 и 5 - два числа, делящихся на 5. Любые операции сложения или деления на 2 будут приводить к числам, делящимся на 5, то есть до 1 не добраться. Аналогично при сложении 51 и 5 получаем 56 и 49 - делятся на 7. Аналогично при сложении 49 и 5 получаем 51 и 54 - делятся на 3.

Что? Где? Когда? Первая игра весенней серии 2004

Против телезрителей играла команда Валентины Голубевой.

Первый раунд. 13-й сектор.
По преданию богини Макиши в базарные пятничные дни нельзя начинать какие-либо дела. А если вы начали дело, что с ним произойдёт?
Ответ
Дело будет пятиться (пятница).
Знатоки ответили неправильно. Счёт 0-1.

Второй раунд.
Это старинное лекарство (хлеб и блюдо на основе шоколада). Какой недуг русские знахари 19 века лечили с помощью этого лекарства?

Ответ
Худобу.
Знатоки ответили правильно. Счёт 1-1.

Третий раунд.
Как использовали подобные юбочки на танцевальных вечерах в Англии во времена королевы Виктории?

Ответ
Ими закрывали ножки роялей.
Знатоки ответили правильно. Счёт 2-1.

S=P

Все числа от 1 до 15 разделили на две группы. В первую группу попали 13 из 15 чисел, во вторую - оставшиеся два числа. Могло ли так получиться, что сумма чисел первой группы оказалась равной произведению двух чисел второй группы?

update

Первый - Илья.
Ответ

Нет.
Пусть x, y - два числа из второй группы, тогда:
1+2+3+...+15-х-у=ху
120=xy+x+y
121=(x+1)(y+1)
Откуда единственный вариант x=y=10, что противоречит условиям.

Какая группа больше?
Как получить простое число?

200-300

Известно, что склад состоит более, чем из одной секций. В каждой секции находится не менее двух ящиков, при этом количество ящиков в каждой секции одинаковое. Также известно, что число ящиков на складе расположено в диапазоне между 200 и 300. Интересно, что если бы вы точно знали это число, то могли бы точно определить и количество секций. Сколько всего секций на складе и сколько ящиков в каждой из них?

update

Первый - Влад.
Ответ

17 секций по 17 ящиков.

Отношение

Чему равно отношение площадей маленького и большого треугольников?

update

Быстрее всех был @arturdubro в твиттере.
Ответ

1/4.
Достаточно перевернуть маленький треугольник и ответ становится очевидным.

И ещё - какая площадь больше?

Прогноз погоды

Позавчера ведущий прогноза погоды сказал: "Погода сегодня отличается от той, что была вчера. Если погода завтра будет такой же, как была вчера, то послезавтра нас ожидает такая же погода, как и позавчера. Если же погода завтра будет такой же, как и сегодня, то послезавтра нужно ждать повторение вчерашней погоды." Сегодня и позавчера был дождь. Какой была погода вчера, если прогноз оказался правильным?

update

Первым правильно обосновал Andrew Antonets.
Ответ

Вчера дождя не было.

Три этажа

В трёхэтажном здании этажи соединены между собой только лифтом. Известно, что в течение рабочего дня количество посетителей, поднявшихся на третий этаж со второго, равно количеству посетителей, спустившихся со второго на первый. Также известно, что количество посетителей, выходящих из лифта на третьем этаже, меньше 1/3 от общего числа людей выходящих из лифта. Ночью в здании никого нет. Какая группа будет больше: количество посетителей, которые поднимаются с первого этажа на второй, или количество посетителей, которые поднимаются с первого этажа на третий?

update

Первый - Andrew Antonets.
Ответ

Посетителей, которые поднимаются с первого этажа на второй, больше.
Обозначим количество поездок с этажа на этаж как n12, n13 и т.д.
Разделим все поездки за день на три группы:
(n13+n23) - поездки на третий этаж;
(n31+n32) - поездки с третьего этажа;
(n12+n21) - поездки между первым и вторым этажами.
Отметим, что первая группа равна второй. Также, по условию задачи, количество посетителей, выходящих из лифта на третьем этаже, меньше 1/3 от общего числа людей выходящих из лифта. На основе этих условий можно записать следующее выражение:
(n13+n23)=(n31+n32)<(n12+n21)
А если принять во внимание, что n21=n23, то получим n13<n12

Полный квадрат

Алгебраическая разминка. Попробуйте доказать, что произведение четырёх последовательных положительных целых чисел не может быть полным квадратом.

update

Первый - Fred.
Ответ

Пусть n - меньшее из четырёх чисел, тогда
n(n+1)(n+2)(n+3)=(n^2+3n)(n^2+3n+2)=(n^2+3n+1)^2-1
Так как выражение вида x^2-1 не может быть полным квадратом, то и исходное произведение не будет им.

Ретрозадача от Набокова

Задача Владимира Набокова. Последний ход сделали белые. Интересно, что если его вернуть, то у белых будет возможность поставить мат в один ход. Как они ходили и как им нужно было ходить, чтобы сделать мат?

update

Первый - Andrew Antonets.
Ответ

Ситуация на доске была такой:

Выигрышный ход белых - пешка берёт ладью на e8 и превращается в коня.

Каким был последний ход чёрных?