Алгебраическая разминка. Попробуйте доказать, что произведение четырёх последовательных положительных целых чисел не может быть полным квадратом.
update
Первый - Fred.Ответ
Пусть n - меньшее из четырёх чисел, тогда
n(n+1)(n+2)(n+3)=(n^2+3n)(n^2+3n+2)=(n^2+3n+1)^2-1
Так как выражение вида x^2-1 не может быть полным квадратом, то и исходное произведение не будет им.
n(n+1)(n+2)(n+3)=(n^2+3n)(n^2+3n+2)=(n^2+3n+1)^2-1
Так как выражение вида x^2-1 не может быть полным квадратом, то и исходное произведение не будет им.
Пусть k*k=n*(n+1)*(n+2)*(n+3)=n*(n+3)*(n+1)*(n+2)=(n*n+3*n)*(n*n+3*n+2)=(m-1)*(m+1)=m*m-1
ОтветитьУдалитьгде m= n*n+3*n+1
k*k=m*m-1
(m-k)*(m+k)=1
m-k=+/-1 and m+k=+/-1
m=+1 или -1 и k=0.
0=k=n*(n+1)*(n+2)*(n+3)
Следовательно n= 0 или -1 или -2 или -3.
Противоречие с тем что n должно быть положительным.
Верно.
УдалитьПроще говоря полученное выражение m^2-1 не может быть полным квадратом.