
пятница, 31 июля 2009 г.
Головоломный марафон. Задание 3

Ярлыки:
головоломный марафон,
конкурс,
математические задачи,
турнир
среда, 29 июля 2009 г.
Головоломный марафон. Задание 2
Второе задание представляет из себя оригинальную головоломку со спичками: равенство изображенное на рисунке неверно, переложите одну спичку так, чтобы оно выполнялось с точностью до 0.01.

вторник, 28 июля 2009 г.
Головоломный марафон. Задание 1

Правила предельно просты. Публикуется задание. Первый, кто напишет в комментариях правильный ответ на вопрос задания, тот получает 1 балл. Один участник может дать только один ответ. Конкурс заканчивается как только один из участников наберет 5 баллов. Победитель получает 500 руб. Сумма небольшая, но и задания не очень сложные.
Для того, чтобы оставить комментарий вам нужно будет зарегистрироваться или воспользоваться уже имеющимся аккаунтом, например, в google. Вознаграждение будет переведено на счет победителя с помощью одной из платежных систем.
Итак, задание №1.
Последнее время увлекся шахматами. Так, что сам придумал задачку. Нужно поставить мат черным в два хода.

Посетителей у блога немного, поэтому шансы на выигрыш велики. Удачи!
UPDATE: Конкурс завершен. Победитель - atrabarba.
понедельник, 27 июля 2009 г.
Особенные числа

Ответ
Числа эти обладают тем свойством, что после отбрасывания нескольких последних знаков они опять остаются простыми.
Ярлыки:
математические задачи,
простые числа,
числа
воскресенье, 19 июля 2009 г.
Дома и деревья

Ответ

Ярлыки:
дерево,
дом,
дьюдени,
разделить участок,
разные головоломки
суббота, 18 июля 2009 г.
Шахматы - 2

Ответ
1. Ферзь f5+, король : f5.
2. Конь c: d7, любой возможный ход.
3. Пешка g4, мат.
Шахматы - 1

Ответ
1. Ладья белых на f7+, черным остается только конь : f7.
2. Конь на g6, мат.
четверг, 16 июля 2009 г.
Головоломные весы
P.S. На весах, где два кувшина - с другой стороны 3 тарелки.
Ответ
Два кувшина уравновешиваются тремя блюдцами, так что вес одного блюдца равен 2/3 веса кувшина. Теперь добавим на каждую чашу весов второго рисунка по стакану; при этом в левой чаше окажутся те же предметы, что и в левой чаше первого рисунка. Это означает, что вес кувшина равен весу блюдца и двух стаканов; а поскольку вес блюдца равен 2/3 веса кувшина, то вес двух стаканов равен оставшейся 1/3. Следовательно, вес каждого из стакана равен 1/6 веса кувшина.
На первом рисунке мы видим, что стакан (1/6 веса кувшина) и бутылка уравновешивают кувшин; отсюда мы находим, что вес бутылки составляет 5/6 веса кувшина. Таким образом, чтобы уравновесить бутылку на последнем рисунке, требуется 5 стаканов.
Ярлыки:
взвешивание,
сэм лойд
среда, 15 июля 2009 г.
Каков возраст жильцов дома?

Агент по переписи Смит и агент по опросу населения Джонс одновременно подходят к дому № 900. Каждый хочет узнать возраст жильцов этого дома. Владелец дома (дело происходит в США) сообщает им свой возраст и говорит, что в доме живут еще три жильца, возрасты которых - три различных целых числа - при перемножении дают число, равное номеру дома. Владелец дома говорит, что он сообщит агенту по переписи возраст среднего из жильцов. Он шепотом сообщает этот возраст агенту по переписи, который после этого говорит, что он не в состоянии определить возраст двух других жильцов. Тогда владелец дома говорит, что он сообщает агенту по опросу сумму возрастов старшего из жильцов и одного из двух других. Он шепотом сообщает сумму агенту по опросу, который говорит, что он тоже не в состоянии отгадать возраст жильцов.
Владелец дома начинает спрашивать их по очереди. В первый раз агент по переписи отвечает, что он не может определить эти возрасты. Агент по опросу говорит, что он тоже не может определить эти возрасты. Во второй раз агент по переписи говорит, что он по-прежнему не может определить возрасты. Агент по опросу говорит, что и он все еще не может этого сделать. В третий раз агент по переписи говорит, что он все еще не знает возрасты жильцов, а агент по опросу заявляет: "Теперь я знаю все возрасты".
Каков возраст этих трех жильцов? (В условии задачи содержится вся необходимая информация для решения!)
Ответ
Полное решение очень громоздкое, поэтому приведу только алгоритм.
Так как возрасты – это целые числа и произведение их равно 900, то вначале раскладываем 900 на 3 целых множителя всеми возможными способами. Получается около 35 вариантов.
Убираем те варианты, в которых присутствует два одинаковых множителя, так как по условия возрасты различны.
Владелец дома сообщил агенту по переписи возраст среднего из жильцов, а агент не смог назвать возрасты остальных. Следовательно, из списка вариантов можно исключить те записи, в которых возраст среднего из жильцов встречается только один раз. Например, вариант 1,25,36. Значение 25 встречается только в этом варианте.
Далее владелец дома сообщает агенту по опросу сумму возрастов старшего и одного из двух других, но агент опять не может назвать возрасты. Это означает, что из списка можно вычеркнуть варианты, в которых сумма возрастов старшего и одного из двух других жильцов встречается только один раз. Например, суммы 52 и 59 подходят только для варианта 2, 9, 50. И если бы возрасты были 2, 9, 50, то агент по опросу мог бы их назвать.
Аналогично следующие три раза, когда владелец дома спрашивает агентов по очереди, вычеркиваем те варианты, которые встречаются только один раз.
В итоге, когда владелец третий раз спрашивает агента по опросу, должны остаться только два варианта: 4, 9, 25 и 5, 9, 20. Так как агент смог назвать возрасты жильцов, то ответом будет вариант 5, 9, 20. Это следует из того, что сумма 34 для варианта 4, 9, 25 отпала на одном из предыдущих этапов, а сумма 29 подходит и для варианта 5, 9, 20. А вот сумма 25 для варианта 5, 9, 20 подходит только для него. Поэтому агенту была названа сумма 25, а ответом будут возрасты 5, 9 и 20.
Ярлыки:
возраст,
журнал квант,
математические задачи
вторник, 14 июля 2009 г.
Задача о пауке и мухе

Комната имеет форму прямоугольного параллелепипеда, размеры которого указаны на рисунке. Посредине боковой стены на расстоянии одного фута от потолка сидит паук. Посредине противоположной стены на высоте одного фута от пола сидит муха. От страха у нее отнялись ноги, и она не может двинуться с места. Спрашивается, каково кратчайшее расстояние, которое должен преодолеть паук для того, чтобы схватить муху?
Ответ
Для решения задачи нужно построить развертку граней прямоугольного параллелепипеда и провести на ней прямую от местонахождения паука к точке, в которой сидит муха. Поскольку построить развертку можно многими способами, то нужно выбрать среди них ту, которая дает кратчайшее расстояние. Ответ показан на рисунке, длина кратчайшего пути от паука к мухе равна 40 футам.

Ярлыки:
геометрические построения,
дьюдени,
минимальное расстояние,
муха,
паук
понедельник, 13 июля 2009 г.
Как поделить деньги?

Ответ
По условию задачи выходит, что все лепешки стоили 24 коп., так как расход каждого путника равен 8 коп. Отсюда следует, что каждая лепешка стоит 3 коп. Итак, тот путник который дал 5 лепешек, издержал 15 коп., и если вычесть отсюда 8 коп. за лепешки, съеденные им самим, то выходит, что ему нужно из денег третьего путника получить 7 коп. Рассуждая точно так же, находим, что второй путник имел лепешек на 9 коп., и что ему приходится из денег третьего путника получить 1 коп.
Ярлыки:
математические задачи,
разделить деньги
Взаимосвязь вещей
Порой довольно своеобразно проявляется взаимосвязь некоторых вещей. Следующие примеры это хорошо демонстрируют. Это две чисто физические задачи школьного уровня, но необычность их формулировок сначала может поставить в тупик.
Первая задача. Даны: кусок нити, металлическая гайка и секундомер. Требуется определить длину нити.
Вторая задача. Даны: стол, небольшой деревянный брусок и транспортир. Требуется определить коэффициент трения между столом и бруском.
Вот такие забавные "бытовые" формулировки. Если же написать текст формализовано, как это делается в учебниках, то станет совсем неинтересно.
Ответ
Для решения первой задачи нужно привязать гайку к нити, у нас получится маятник. Затем с помощью секундомера нужно вычислить период этого маятника. Длина маятника, его период и ускорение свободного падения связаны между собой следующей формулой, откуда находим длину:
Для решения второй задачи кладем брусок на стол. Далее нужно наклонять стол до момента, когда брусок начнет скользит по столу. Транспортиром измеряем угол наклона стола и с помощью следующих формул находим коэффициент трения:
Первая задача. Даны: кусок нити, металлическая гайка и секундомер. Требуется определить длину нити.
Вторая задача. Даны: стол, небольшой деревянный брусок и транспортир. Требуется определить коэффициент трения между столом и бруском.
Вот такие забавные "бытовые" формулировки. Если же написать текст формализовано, как это делается в учебниках, то станет совсем неинтересно.
Ответ
Для решения первой задачи нужно привязать гайку к нити, у нас получится маятник. Затем с помощью секундомера нужно вычислить период этого маятника. Длина маятника, его период и ускорение свободного падения связаны между собой следующей формулой, откуда находим длину:
Для решения второй задачи кладем брусок на стол. Далее нужно наклонять стол до момента, когда брусок начнет скользит по столу. Транспортиром измеряем угол наклона стола и с помощью следующих формул находим коэффициент трения:

Ярлыки:
физические задачи
Фальшивые монеты

Имеется 10 кучек монет, в каждой кучке по 10 монет. Одна кучка целиком состоит из фальшивых монет, но какая именно - неизвестно. Известен лишь вес настоящей монеты, и, кроме того, установлено, что каждая фальшивая монета на один грамм тяжелее, чем нужно. Монеты можно взвешивать на пружинных весах (то есть можно определить вес взвешиваемых монет). Какое минимальное число взвешиваний необходимо произвести, чтобы отыскать кучку, целиком состоящую из фальшивых монет? И каким образом нужно производить взвешивание?
Ответ
Кучку фальшивых монет можно найти с помощью одного-единственного взвешивания. Нужно взять одну монету из первой кучки, две из второй, три – из третьей и т.д. и, наконец, все 10 монет из десятой кучки. Затем все отобранные монеты взвешиваются все вместе на пружинных весах. Лишний вес, выраженный в граммах, будет соответствовать номеру фальшивой кучки.
Ярлыки:
взвешивание,
мартин гарднер,
разные головоломки
воскресенье, 12 июля 2009 г.
Перетягивание каната
Ответ
Объединенная «тяга» четырех тучных парней в точности равна тяги пяти пышных сестер. Поскольку на втором рисунке показано, что пара тощих близнецов равна по силе одному тучному парню и двум пышным девицам, мы можем упростить задачу, заменив на третьем рисунке двух тощих близнецов их «тяговым эквивалентом», то есть поставив вместо них толстого парня и двух пышных девиц.
Теперь у нас пять пышных сестер и один тучный парень противостоят одно пышной сестре и четырем тучным парням. Мы может удалить четырех тучных парней с одной и пять пышных девиц с другой стороны каната, ибо, согласно первому рисунку, их силы равны. При этом слева останется один тучный парень, а справа – одна пышная девица. Таким образом, выиграет левая команда, поскольку ее тяговая сила на 1/5 силы парня больше, чем у правой команды.
Ярлыки:
перетягивание каната,
разные головоломки,
сэм лойд
суббота, 11 июля 2009 г.
Задача о двух лодках
К пристани на озере приближаются две одинаковые лодки. Оба лодочника подтягиваются с помощью веревки. Противоположный конец веревки первой лодки привязан к тумбе на пристани; противоположный же конец веревки второй лодки находится в руках матроса на пристани, который также тянет веревку к себе. Все трое прилагают одинаковые усилия. Какая лодка причалит раньше?
Ответ
На первый взгляд может показаться, что причалит раньше та лодка, которую тянут двое: двойная сила порождает большую скорость. Но верно ли, что на эту лодку действует двойная сила? Если и лодочник и матрос оба тянут к себе веревку, то натяжение веревки равно силе только одного из них – иначе говоря, оно такое же, как и для первой лодки. Обе лодки подтягиваются с равной силой и причалят одновременно.
Ярлыки:
занимательная механика,
лодка,
физические задачи
Лампа для лунной поверхности

В книге М. Борисова "Кратеры Бабакина" есть эпизод, связанный с проектированием станции "Луна-16". Нужно было снабдить станцию компактной и сильной электролампой для освещения лунной поверхности "под ногами" станции. Лампе предстояло выдержать большие механические перегрузки. Естественно, отобранные образцы придирчиво испытывали. И вот оказалось, что лампы не выдерживают перегрузок. Слабым местом было соединение цоколя лампы со стеклянным баллоном. Сотрудники Бабакина сбились с ног, пытаясь найти более прочные лампы. Как вы думаете, что предложил в этой ситуации главный конструктор Георгий Николаевич Бабакин?
Ответ
В соответствии с положением об идеальном конечном результате: идеальный баллон - когда баллона нет, а функция его выполняется. В чем функция баллона? Держать вакуум внутри лампы. Но зачем везти вакуум на Луну, если там сколько угодно своего?! Бабакин предложил поставить на "Луну-16" лампу без стеклянного баллона. Такая лампа непригодна на Земле, но ведь на Земле она и не нужна.
пятница, 10 июля 2009 г.
Минутная и часовая стрелки часов

Перед вами часы. Сколько существует положений стрелок, по которым нельзя определить время, если не знать, какая стрелка часовая, а какая - минутная? (Считается, что положение каждой из стрелок можно определить точно, но следить за тем, как стрелки двигаются, нельзя)
На рисунке приведен пример одного из таких положений стрелок.
Ответ
Предположим, что рядом с нашими часами (справа) другие, воображаемые, которые идут ровно в 12 раз быстрее. Пустим и те и другие часы одновременно, когда они показывают 12 часов; тогда часовая стрелка правых часов все время совпадает с минутной левых. Ясно, что интересующие нас «неразличимые» положения стрелок – в точности те, когда часовая стрелка левых совпадает с минутной правых, быстрых часов. Сколько же раз это произойдет? Из 12*12=144 оборотов, которые сделает минутная стрелка правых часов за то время, пока часовая стрелка «нормальных» сделает один оборот, на каждом обороте произойдет одно совпадение (включая начальную точку первого оборота); из них нужно исключить 12 случаев, когда совпадают все четыре стрелки, - остается 132. Ответ: существует 132 положения стрелок, удовлетворяющих условиям задачи.
Ярлыки:
журнал квант,
математические задачи,
часы
четверг, 9 июля 2009 г.
Какую стратегию выбрать?

Дано прямоугольное поле и круглые фишки. В игре участвуют двое. Игроки по очереди должны класть фишки на любое свободное место поля. Выигрывает тот игрок, чья фишка займет последнее свободное место. Вопрос: какую стратегию должен выбрать игрок, который ходит первым, чтобы точно выиграть?
Ответ
Первую фишку первый игрок должен положить в центр прямоугольника. Каждую следующую фишку он должен класть симметрично фишке второго игрока относительно центра. Таким образом, куда бы не положил фишку второй игрок, на симметричном относительно центра месте всегда будет свободное поле.

Ярлыки:
игровые задачи,
стратегия игры
Задача от А.П. Чехова

Теперь по арифметике... Берите доску. Какая следующая задача? Петя плюет на доску и стирает рукавом. Учитель берет задачник и диктует: - "Купец купил 138 арш. черного и синего сукна за 540 руб. Спрашивается, сколько аршин купил он того и другого, если синее стоило 5 руб. за аршин, а черное 3 руб.?" Повторите задачу. Петя повторяет задачу и тотчас же, ни слова не говоря, начинает делить 540 на 138. - Для чего же это вы делите? Постойте! Впрочем, так... продолжайте. Остаток получается? Здесь не может быть остатка. Дайте-ка я разделю! Зиберов делит, получает 3 с остатком и быстро стирает. "Странно... - думает он, ероша волосы и краснея. - Как же она решается? Гм!.. Это задача на неопределенные уравнения, а вовсе не арифметическая"... Учитель глядит в ответы и видит 75 и 63. "Гм!.. странно... Сложить 5 и 3, а потом делить 540 на 8? Так, что ли? Нет, не то". - Решайте же! - говорит он Пете. - Ну, чего думаешь? Задача-то ведь пустяковая! - говорит Удодов Пете. Экий ты дурак, братец! Решите уж вы ему, Егор Алексеич. Егор Алексеич берет в руки грифель и начинает решать. Он заикается, краснеет, бледнеет. - Эта задача, собственно говоря, алгебраическая, - говорит он. - Ее с иксом и игреком решить можно. Впрочем, можно и так решить. Я, вот, разделил... понимаете? Теперь, вот, надо вычесть... понимаете? Или, вот что... Решите мне эту задачу сами к завтраму... Подумайте... Петя ехидно улыбается. Удодов тоже улыбается. Оба они понимают замешательство учителя. Ученик VII класса еще пуще конфузится, встает и начинает ходить из угла в угол. - И без алгебры решить можно, - говорит Удодов, протягивая руку к счетам и вздыхая. - Вот, извольте видеть... Он щелкает на счетах, и у него получается 75 и 63, что и нужно было. - Вот-с... по-нашему, по-неученому.
Суть в том, чтобы найти ответ только с помощью арифметики, то есть использовать неизвестные нельзя. Об этой задаче рассказал коллега по работе.
Ответ
Если бы купец купил 138 аршин только синего сукна, тогда он потратил бы 138*5=690 рублей. Но он потратил 540 рублей. Разница 690-540=150 рублей возникает из-за того, что черное сукно стоит на 5-3=2 рубля дешевле. Поэтому можно вычислить купленное количество черного сукна разделив 150 на 2. Получим, что купец купил 75 аршин черного сукна. Тогда за синее сукно он заплатил 540-75*3=315 рублей. Отсюда получаем 315/5=63 аршина синего сукна. Как видите, задачу можно решить применяя только арифметические операции.
среда, 8 июля 2009 г.
В каком месте построить мост?
Ответ
Так как ширина реки постоянна (обозначим её s), то при выборе пути это значение можно не учитывать. То есть можно предположить, что реки нет, а все точки на правом берегу сдвинуть на расстояние s к левому берегу. Точка B перейдет в точку C. Теперь нужно искать кратчайшее расстояние между точками A и C. Это, естественно, будет отрезок AC. Отрезок АС пересекает левый берег реки в точке D. В этом месте и нужно строить мост. Так как DC равно BE, то путь ADEB будет минимальным.

Подписаться на:
Сообщения (Atom)