Колодец на даче

Два соседа решили сделать рядом со своими дачными участками колодец. Место, где есть вода и можно копать, обозначено красным пунктиром. Дачники договорились, что место установки нужно выбрать так, чтобы сумма расстояний от колодца до их домов была минимальной. Как определить, в каком месте делать колодец?

Ответ

Самый короткий путь

На рисунке разными цветами обозначены дороги. Каждая из них по форме является половиной окружности. Пересекаются дороги только в красных точках, в других местах перейти с одной дороги на другую нельзя. Известно, что светло-зеленая дорога короче темно-зеленой, темно-зеленая короче серой, серая короче желтой, а желтая короче фиолетовой. Укажите путь минимальной длины из точки А в точку В.

Ещё две задачи, в которых требуется найти путь минимальной длины:
Задача о пауке и мухе
В каком месте построить мост?

Задача о пауке и мухе

Наиболее известная головоломка Г. Дьюдени - английского изобретателя головоломок - задача о пауке и мухе. Впервые она была опубликована в 1903 году в одной английской газете.

Комната имеет форму прямоугольного параллелепипеда, размеры которого указаны на рисунке. Посредине боковой стены на расстоянии одного фута от потолка сидит паук. Посредине противоположной стены на высоте одного фута от пола сидит муха. От страха у нее отнялись ноги, и она не может двинуться с места. Спрашивается, каково кратчайшее расстояние, которое должен преодолеть паук для того, чтобы схватить муху?
Ответ
Для решения задачи нужно построить развертку граней прямоугольного параллелепипеда и провести на ней прямую от местонахождения паука к точке, в которой сидит муха. Поскольку построить развертку можно многими способами, то нужно выбрать среди них ту, которая дает кратчайшее расстояние. Ответ показан на рисунке, длина кратчайшего пути от паука к мухе равна 40 футам.

В каком месте построить мост?

Несложная задачка от моего знакомого. Есть два дома: А и B. Между ними протекает река, через которую нужно построить мост. Мост, естественно, должен быть перпендикулярен берегам реки. Расстояния от домов до ближайших к ним берегов разное. Требуется выбрать для моста такое место, чтобы путь от дома А к дому B был минимальным.
Ответ
Так как ширина реки постоянна (обозначим её s), то при выборе пути это значение можно не учитывать. То есть можно предположить, что реки нет, а все точки на правом берегу сдвинуть на расстояние s к левому берегу. Точка B перейдет в точку C. Теперь нужно искать кратчайшее расстояние между точками A и C. Это, естественно, будет отрезок AC. Отрезок АС пересекает левый берег реки в точке D. В этом месте и нужно строить мост. Так как DC равно BE, то путь ADEB будет минимальным.