Расклад

Сто шариков имеют веса: 1, 2, 3, ..., 100 грамм. Необходимо разложить эти шарики в 10 одинаковых коробок так, чтобы выполнялось два условия:
1) в итоге все коробки должны иметь разную массу;
2) чем тяжелее коробка, тем меньшее количество шариков в ней должно находиться.
Можно ли это сделать? И если можно, то как?

update

Первый - Дмитрий.
Ответ

Нельзя.
Предположим, что выполнить условия можно. Сумма масс всех шариков равна 5050. Масса самой тяжёлой коробки должна быть больше, чем среднее арифметическое масс всех коробок, то есть больше, чем 505 (веса коробок не учитываем). Так как шарика с массой более 100 грамм нет, то в самой тяжёлой коробке должно быть не меньше 6 шариков. Следовательно, общее количество шариков должно быть не меньше, чем 6+7+8+...+15=105. Но это противоречит условию - в наборе всего 100 шариков.

Пачка соли

Пачка соли стоит 90 копеек. При этом в каждой пачке есть фишка. В свою очередь, за девять таких фишек можно получить пачку соли бесплатно. Если не учитывать стоимость упаковки, то какова реальная стоимость содержимого пачки соли для постоянного покупателя?

update

Первый - victor.
Ответ

80 копеек.

Одно взвешивание

Вариация на тему про фальшивые монеты и одно взвешивание. Имеется шесть мешочков с монетами и в каждом из них достаточно большое число монет. При этом все монеты в каждом мешочке либо фальшивые, либо настоящие. Вес настоящей монеты известен (допустим, 5 грамм). Также известно, что фальшивая монета весит на один грамм меньше настоящей. Точное количество мешочков с фальшивыми монетами неизвестно - их может быть несколько. Как за одно взвешивание на точных весах, показывающих вес, определить все мешочки с фальшивыми монетами?

update

Первый - Илья.
Ответ

Нужно взять 1 монету из первого мешочка, 2 из второго, 4 из третьего, 8 из четвёртого, 16 из пятого и 32 из шестого. Если бы все выбранные монеты (63 штуки) были настоящие, то их суммарный вес был бы равен 315 грамм. Разница между полученным при взвешивании значением и 315 будет однозначно определять набор мешочков с фальшивыми монетами. Например, вес 336 грамм может быть получен в единственном случае - если фальшивые монеты находятся в первом, третьем и пятом мешочках (336-315=21=1+4+16).