Дан правильный треугольник с длиной стороны 6 см. Внутри этого треугольника (включая границы) произвольно выбрали пять точек. Если рассматривать две самые близкие друг к другу точки, то какое максимальное расстояние может быть между ними?
Разделим исходный треугольник на четыре равных правильных треугольника со стороной 3 см как показано на рисунке. Так как маленьких треугольника четыре, а точек пять, то в одном из них будет две точки. Максимальное расстояние между этими точками будет равно 3 см.
Не очень строгое доказательство получилось. Например, можно задействовать только две вершины треугольника и получить такой же результат. Есть более убедительный вариант.
Да, можно взять две вершины и три середины сторон, тоже 3 см получится.
Такое ощущение, что если взять круг радиуса 3см не на границе треугольника, то на оставшихся непокрытых им частях можно будет только три точки поставить (там будут три связные области диаметра меньше 3см). Значит, все точки нужно брать на границе. Если на какой-то стороне три точки, то расстояние между ближайшими явно не больше 3 см. А вот если по две или меньше, то нужно внимательно посмотреть :)
Сейчас пришла мысль, что в очень грубом приближении доказательство о шарах в коробках чем-то похоже на решение этой задачи. Но это ооочень приблизительно...
Докажем, что не может быть пяти точек на расстоянии больше 3 см друг от друга.
Разделим треугольник средними линиями на четыре равносторонних треугольника со стороной 3 см. Диаметр каждого из этих треугольников равен 3. Следовательно, если точки находятся на расстоянии строго больше трех друг от друга, то в каждом таком треугольнике (включая границу) может быть не более одной точки. q.e.d.
Логично :) Только можно изначально не привязываться к расстоянию. Раз маленьких треугольников четыре, а точек пять, то в одном из них обязательно будет две точки. А максимальное расстояние между двумя точками в маленьком треугольнике будет равно 3.
3 см.
ОтветитьУдалитьПонятно, что три точки из 5 - в вершинах треугольника. Остальные две - в середине двух сторон, т.е. искомое расстояние = 3 см.
Не очень строгое доказательство получилось. Например, можно задействовать только две вершины треугольника и получить такой же результат. Есть более убедительный вариант.
УдалитьДа, можно взять две вершины и три середины сторон, тоже 3 см получится.
УдалитьТакое ощущение, что если взять круг радиуса 3см не на границе треугольника, то на оставшихся непокрытых им частях можно будет только три точки поставить (там будут три связные области диаметра меньше 3см). Значит, все точки нужно брать на границе. Если на какой-то стороне три точки, то расстояние между ближайшими явно не больше 3 см.
А вот если по две или меньше, то нужно внимательно посмотреть :)
Так, ну с тремя областями я чуть-чуть не то сказал, но в общем направление куда мыслить мне наконец стало немного понятнее :)
УдалитьСейчас пришла мысль, что в очень грубом приближении доказательство о шарах в коробках чем-то похоже на решение этой задачи. Но это ооочень приблизительно...
УдалитьНеужели все так просто? :)
ОтветитьУдалитьДокажем, что не может быть пяти точек на расстоянии больше 3 см друг от друга.
Разделим треугольник средними линиями на четыре равносторонних треугольника со стороной 3 см. Диаметр каждого из этих треугольников равен 3. Следовательно, если точки находятся на расстоянии строго больше трех друг от друга, то в каждом таком треугольнике (включая границу) может быть не более одной точки.
q.e.d.
Логично :)
УдалитьТолько можно изначально не привязываться к расстоянию. Раз маленьких треугольников четыре, а точек пять, то в одном из них обязательно будет две точки. А максимальное расстояние между двумя точками в маленьком треугольнике будет равно 3.