воскресенье, 6 июля 2014 г.

Пять точек

Дан правильный треугольник с длиной стороны 6 см. Внутри этого треугольника (включая границы) произвольно выбрали пять точек. Если рассматривать две самые близкие друг к другу точки, то какое максимальное расстояние может быть между ними?
Правильный треугольник
update
Первым доказал Илья.
Ответ
Разделим исходный треугольник на четыре равных правильных треугольника со стороной 3 см как показано на рисунке. Так как маленьких треугольника четыре, а точек пять, то в одном из них будет две точки. Максимальное расстояние между этими точками будет равно 3 см.
Решение задачи про треугольник и пять точек

Докажите, что найдутся две точки...

7 комментариев:

  1. 3 см.
    Понятно, что три точки из 5 - в вершинах треугольника. Остальные две - в середине двух сторон, т.е. искомое расстояние = 3 см.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Не очень строгое доказательство получилось. Например, можно задействовать только две вершины треугольника и получить такой же результат. Есть более убедительный вариант.

      Удалить
    2. Да, можно взять две вершины и три середины сторон, тоже 3 см получится.

      Такое ощущение, что если взять круг радиуса 3см не на границе треугольника, то на оставшихся непокрытых им частях можно будет только три точки поставить (там будут три связные области диаметра меньше 3см). Значит, все точки нужно брать на границе. Если на какой-то стороне три точки, то расстояние между ближайшими явно не больше 3 см.
      А вот если по две или меньше, то нужно внимательно посмотреть :)

      Удалить
    3. Так, ну с тремя областями я чуть-чуть не то сказал, но в общем направление куда мыслить мне наконец стало немного понятнее :)

      Удалить
    4. Сейчас пришла мысль, что в очень грубом приближении доказательство о шарах в коробках чем-то похоже на решение этой задачи. Но это ооочень приблизительно...

      Удалить
  2. Неужели все так просто? :)

    Докажем, что не может быть пяти точек на расстоянии больше 3 см друг от друга.

    Разделим треугольник средними линиями на четыре равносторонних треугольника со стороной 3 см. Диаметр каждого из этих треугольников равен 3. Следовательно, если точки находятся на расстоянии строго больше трех друг от друга, то в каждом таком треугольнике (включая границу) может быть не более одной точки.
    q.e.d.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Логично :)
      Только можно изначально не привязываться к расстоянию. Раз маленьких треугольников четыре, а точек пять, то в одном из них обязательно будет две точки. А максимальное расстояние между двумя точками в маленьком треугольнике будет равно 3.

      Удалить