вторник, 29 июля 2014 г.

Точки в узлах

На бесконечной клетчатой поверхности в любых пяти узлах решётки требуется поставить точки таким образом, чтобы середины отрезков, соединяющих попарно каждые две из пяти точек, не попали в узлы решётки. Например, на рисунке данное требование не выполняется. Если соединить две точки, расположенные правее остальных, то середина полученного отрезка попадёт точно в узел решётки. Как можно выполнить это задание?
В клетку
update
Первый - Влад.
Ответ
Задание выполнить нельзя.
Введём систему координат и сопоставим каждому узлу решётки по паре координаты. Каждый узел может иметь пару только следующих четырёх видов: (чётное, чётное), (чётное, нечётное), (нечётное, чётное) и (нечётное, нечётное). Легко определить, что середина отрезка, соединяющего два любых узла, будет также находится в узле только в том случае, если оба исходных узла имеют пару координат одинакового вида. А так как их всего четыре, то из пяти точек две обязательно будут иметь середину отрезка в узле. И выполнить задание не получится.
Задача про узлы в точках

2 комментария:

  1. Рассмотрим остатки от деления на 2 координат точек. Возможно 4 варианта - (0,0) (0,1) (1,0) (1,1). Значит из 5 точек найдутся 2 такие, у которых совпадают остатки, и середина отрезка с вершинами в этих точках будет иметь целые координаты ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2).

    ОтветитьУдалить